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1．若復(fù)數(shù)，則對應(yīng)復(fù)平面上的點在                                （   ）

A．第一象限           B．第二象限         C．第三象限          D．第四象限

2．定積分的值為                                                （   ）

A．1                  B．2                C．3                 D．0

3．以下圖形分別表示一個三次函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象，其中一定不正確的有 （   ）

A．1個                B．2個              C．3個              D．4個

4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是                                        （   ）

A．   B．         C．           D．

5．已知函數(shù)，則等于                             （   ）

A．                 B．               C．                D．

6．已知，則的值為                                        （   ）

A．                B．                C．              D．不存在

7．設(shè)坐標(biāo)平面上的拋物線C：，過第一象限的點作曲線C的切線，與軸的夾角為30^o，則的值為                                                  （   ）

A．              B．             C．               D．

8．已知，，且，則實數(shù)的值為             （   ）

A．                B．               C．                D．

9．若直線和⊙O：沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)為                                                         （   ）

A．至多1個          B．2個               C．1個              D．0個

10．函數(shù)是圓心在原點的單位圓的兩段圓弧（如圖），則不等式的解集為（   ）

A．

B．

C． 

D．

11．若，則與的大小關(guān)系是                                  （   ）

A．          B．       C．          D．與的值有關(guān)

12．偶函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且，，則曲線 在點處切線的斜率為                           （   ）

A．               B．              C．               D．

第Ⅱ卷  （非選擇題   共90分）

13．已知某圓的極坐標(biāo)方程為，化為普通方程為______________________．

14．把由曲線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為_____________．

15．已知，則_____________．

16．已知函數(shù)都是定義在上的函數(shù)，，，，，在有窮數(shù)列中，任意取正整數(shù)，前項和大于的概率是 _____________．

17．（本題滿分10分）

已知復(fù)數(shù)，當(dāng)為何值時，復(fù)數(shù)：

（1）是實數(shù)；

（2）是純虛數(shù)．

18．（本題滿分12分）

已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

19．（本題滿分12分）

如圖，在會展中心廣場要臨時搭建占地面積為平方米長寬不等的冰雕景區(qū)，四周有小路，冰雕景區(qū)長邊外小路寬6米，短邊外小路寬8米，冰雕景區(qū)長邊長為米．對于給定的，怎樣設(shè)計冰雕景區(qū)的長與寬，使冰雕景區(qū)和小路占地面積總和最小．

20．（本題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AB=AC，D為BC中點， F為BB₁上一點，BF=BC=2，F(xiàn)B₁=1．

（1）求證：AD⊥平面BB₁C₁C；

（2）若E為AD上不同于A、D的任一點，求證：EF⊥FC₁；

（3）若AB=3，求FC₁與平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

21．（本題滿分12分）

已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的3個點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心，且，．

（1）求橢圓方程；

（2）動弦CP、CQ分別交軸于E、F兩點，且， 求證：．

22.（本題滿分12分）

已知函數(shù)的圖象如圖所示，與軸相切于點O，與正半軸相交于點A，且此函數(shù)圖象與軸所圍成區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為.

  （1）求函數(shù)的解析式；

  （2）設(shè)，如果過點可作函數(shù)的兩條切線，

求證：點在函數(shù) 的圖象上，或者在某條定直線上，并求出該直線方程；

  （3）設(shè)，求證：．

哈師大附中高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)答案（理科）

17.解：（1）若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則有，或……5’

（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有且，……10’

18.解：（1）……1’

令，或，

令，……5’

的單調(diào)遞增區(qū)間為，減區(qū)間為     ……6’

（2）當(dāng)時，由（1）知在上遞減，在上遞增，

當(dāng)時有最小值為，……9’

若當(dāng)時不等式恒成立，則只須，即     ……12’

19.解：設(shè)冰雕景區(qū)的長為米，則寬為米，設(shè)總占地面積為平方米，依題意有

……3’，  ……4’ 

令得……5’

（1）當(dāng)時，則，

此時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號    ……7’

（2）當(dāng)時，則，

此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時，最小 ……9’

（3）當(dāng)時，

此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，時，最小 ……11’

答：當(dāng)時，長取20米，寬取米，面積總和最��；

當(dāng)時，長取米，寬取米，面積總和最小；

當(dāng)時，長取30米，寬取米，面積總和最小�！�…12’

20.證明 (1)在直三棱柱中，⊥平面，面 ，⊥

又，為的中點，⊥，且面

⊥面                                     ……4’

 (2)連結(jié)，，⊥，又⊥面⊥且，面⊥面，面⊥……8’

(3)過作⊥于，連結(jié)，⊥面，且面，

面⊥面，且面面，又⊥，⊥面與平面所成的角為，在中，

與面所成的角的正弦值為                     ……12’

21.解：(1)設(shè)橢圓方程為：，，由已知

  ① ……2’                                                                       

，為等腰直角三角形②…4’

由①②得：，代入橢圓方程得，橢圓方程為……6’

(2),不妨設(shè)，設(shè)直線方程：

聯(lián)立得，

………8         同理，………10’

且，，………12’ 

22解：（1）依題可知，，所以

        因為，所以則       

        令，則

        故所以（不符合題意，舍去）

        所以                                                 

（2）證明：由（1）知，，

設(shè)函數(shù)在點處的切線方程為        

若有一條切線過點，則存在實數(shù)，使

即

令，則

因為，所以，當(dāng)或時，；當(dāng)時，

所以，在處取得極大值，在處取得極小值

如果過點可作函數(shù)的兩條切線，則方程有兩個相異實根，所以或

即點滿足在曲線上，或者點滿足，在定直線

上                                                     

（3）令                    

  因為，所以，

  所以在上成立，即為上單調(diào)遞增函數(shù)，

   所以成立，即成立.