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四川省成都市2009屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測

數(shù)學(xué)試題（理科）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。全卷滿分150分。完成時間為120分鐘。

第Ⅰ卷

注意事項：

1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號、考試科目涂寫在答題卡上。

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷上。

3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表積公式：

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互獨立，那么其中R表示球的半徑

P（A?B）=P（A）?P（B）球的體積公式

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，

那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k 次的概率其中R表示球的半徑

一、選擇題：

1．的值（）

A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．無法確定

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2．已知集合等于（）

A．4 B．0或4 C．0或2 D．2

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3．已知的最小正周期是

（）

試題詳情

A． B． C． D．1

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4．已知等差數(shù)列等于（）

A．3：2 B．3：5 C．2：5 D．2：3

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5．在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）中，已知，則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率為（）

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A．0.9672 B．0.9706 C．0.9412 D．0.9524

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6．已知點O為坐標(biāo)原點，點P滿足，則點P到直線的最短距離為

（）

試題詳情

A．5 B．3 C．1 D．

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7．若A、B為一對對立事件，其概率分別為的最小值為（）

A．9 B．10 C．6 D．8

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8．從0、1、4、5、8這5個數(shù)字中任選四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，在這些四位數(shù)中，不大于5104的四位數(shù)的總個數(shù)是（）

A．56 B．55 C．54 D．52

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9．已知的反函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，若的值等于（）

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A． B．2 C．1 D．

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10．有下列命題：①在空間中，若；②直角梯形是平面圖形；③{正四棱柱}{直平行六面體}{長方體}；④在四面體P―ABC中，，則點A在平面PBC內(nèi)的射影恰為的垂心，其中逆否命題為真命題的個數(shù)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

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（）

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12．已知曲線E的參數(shù)方程為，則下列說法正確的是（）

A．過點（1，0）并與曲線E相交所得弦長為8的直線存在且有兩條

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B．與曲線E相切的充分不必要條件

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C．若為曲線E上的點，則的最大值為3

20090520

第Ⅱ卷

注意事項：

試題詳情

1．用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。

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2．答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。

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3．本卷共10小題，共90分。

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。

13．被7除所得的余數(shù)是。

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14．設(shè)函數(shù)的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，的大小關(guān)系為。

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15．已知點A、B、C在球心為O的球面上，的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為，球心O到截面ABC的距離為，則該球的表面積為。

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16．用符號表示超過的最小整數(shù)，如，有下列命題：①若函數(shù)，則值域為；②如果數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列也是等差數(shù)列；③若，則方程有5組解，④已知向量不可能為直角。

其中，所有正確命題的番號應(yīng)是。

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三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。

17．（本小題滿分12分）

已知點

（I）若向量的值；

（II）若向量的取值范圍。

18．（本小題滿分12分）

如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在的平面互相垂直，，CE//AF，

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（II）求異面直線CM與FD所成角的大��；

（III）求二面角A―DF―B的大小。

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19．（本小題滿分12分）

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某企業(yè)準(zhǔn)備招聘一批大學(xué)生到本單位就業(yè)，但在簽約前要對他們的某項專業(yè)技能進(jìn)行測試。在待測試的某一個小組中有男、女生共10人（其中女生人數(shù)多于男生人數(shù)），如果從中隨機(jī)選2人參加測試，其中恰為一男一女的概率為

（I）求該小組中女生的人數(shù)；

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（II）假設(shè)此項專業(yè)技能測試對該小組的學(xué)生而言，每個女生通過的概率均為，每個男生通過的概率均為，現(xiàn)對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進(jìn)行測試，記這3人中通過測試的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。

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20．（本小題滿分12分）

試題詳情

已知雙曲線，焦點F₂到漸近線的距離為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為1。

（I）求此雙曲線的方程；

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（II）過雙曲線焦點F₁的直線與雙曲線的兩支分別相交于A、B兩點，過焦點F₂且與AB平行的直線與雙曲線分別相交于C、D兩點，若A、B、C、D這四點依次構(gòu)成平行四邊形ABCD，且，求直線AB的方程。

21．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)處的切線恰好為軸。

（I）求的值；

（II）若區(qū)間恒為函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，求實數(shù)的最小值；

試題詳情

（III）記（其中），的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)是否存在極值點？若存在，請找出極值點并論證是極大值點還是極小值點；若不存在，請說明理由。

22．（本小題滿分14分）

已知數(shù)列為方向向量的直線上，

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）求證：（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）；

試題詳情

（III）記求證：

試題詳情

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

1―6ADBADC 7―12ABCBBC

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

二、填空題（每小題4分，共16分）

13．2 14． 15． 16．①③

三、解答題（本大題共6小題，共74分）

17．解：（I）

4分

又 2分

（II）

2分

3分

18．（I）證明：由題意可知CD、CB、CE兩兩垂直。

可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則 2分

由 1分

又平面BDF，

平面BDF。 2分

（Ⅱ）解：設(shè)異面直線CM與FD所成角的大小為

。

即異面直線CM與FD所成角的大小為 3分

（III）解：平面ADF，

平面ADF的法向量為 1分

設(shè)平面BDF的法向量為

由

1分

由圖可知二面角A―DF―B的大小為 1分

19．解：（I）設(shè)該小組中有n個女生，根據(jù)題意，得

解得n=6,n=4（舍去）

該小組中有6個女生。 5分

（II）由題意，的取值為0，1，2，3。 1分

4分

的分布列為：

…………1分

3分

20．解：（I）到漸近線=0的距離為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，

3分

1分

（II）由題意，知直線AB的斜率必存在。

設(shè)直線AB的方程為

由，

顯然

2分

由雙曲線和□ABCD的對稱性，可知A與C、B與D關(guān)于原點對稱。

而 1分

點O到直線的距離 2分

1分

21．解：（I）

3分

（Ⅱ） 1分

上單調(diào)遞增；

又當(dāng)

上單調(diào)遞減。 1分

只能為的單調(diào)遞減區(qū)間，

的最小值為0。

（III）

于是函數(shù)是否存在極值點轉(zhuǎn)化為對方程內(nèi)根的討論。

而

1分

①當(dāng)

此時有且只有一個實根

存在極小值點 1分

②當(dāng)

當(dāng)單調(diào)遞減；

當(dāng)單調(diào)遞增。

1分

③當(dāng)

此時有兩個不等實根

單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減，

當(dāng)單調(diào)遞增，

，

存在極小值點 1分

綜上所述，對時，

存在極小值點

當(dāng)

當(dāng)存在極小值點

存在極大值點 1分

（注：本小題可用二次方程根的分布求解。）

22．（I）解：由題意， 1分

為首項，為公比的等比數(shù)列。

1分

（Ⅱ）證明：

構(gòu)造輔助函數(shù)

單調(diào)遞增，

令

則

4分

（III）證明：

時，

（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號）。 3分

另一方面，當(dāng)時，

（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）。

綜上所述，有 3分

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