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1．若，且，則________________。

2．已知全集，集合，，

那么集合__________。

3．滿足方程的實數(shù)解x為________________。

4．在數(shù)列中，，且，_________。

5．已知實數(shù)，直線過點，且垂直于向量，若直線與圓相交，則實數(shù)的取值范圍是________________。

6．已知一個球的球心到過球面上A、B、C三點的截面的距離等于此球半徑的一半，若

，則球的體積為________________。

7．是無窮數(shù)列，已知是二項式的展開式各項系數(shù)的和，記，則_______________。

8．在中，，的面積為，則_______________。

9．已知集合，，（可以等于)，從集合中任取一元素，則該元素的模為的概率為______________。

10．某同學在研究函數(shù) 時，分別給出下面幾個結論：

①等式對恒成立；          

②若，則一定有；

③若，方程有兩個不等實數(shù)根；

④函數(shù)在上有三個零點。

其中正確結論的序號有________________。（請將你認為正確的結論的序號都填上）

11．將側棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側面和底面分別叫直角三棱

錐的“直角面和斜面”；過三棱錐頂點及斜面任兩邊中點的截面均稱為斜面的“中面”。

（1）直角三角形具有性質：“兩條直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方”。

仿照此性質寫出直角三棱錐具有的性質：                                      。

（2）直角三角形具有性質：“斜邊的中線長等于斜邊邊長的一半”。

仿照此性質寫出直角三棱錐具有的性質：                                      。

每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確的結論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得４分，否則一律得零分。

12．已知、為實數(shù)，則是的（    ）

 　�。ˋ）充分非必要條件                  （B）必要非充分條件   

 （C）充要條件                        （D）既不充分也不必要條件

13．已知點，直線，點B是l上的動點， 過點B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點P，則點P的軌跡是（　�。�                                                              

         （A）拋物線     （B）橢圓     （C）雙曲線的一支     （D）直線

14．已知正三棱柱的底面邊長為2，高為1，過頂點A作一平面與側面交于(如右圖)，且．若平面與底面所成二面角的大小為 ，四邊形面積為y ，則函數(shù)的圖象大致是（    ）

15．已知，，若為滿足的整數(shù)，則是直角三角

形的整數(shù)的個數(shù)為（    ）

（A）2個          （B）3個        （C）4個         （D）7個

解答下列各題必須寫出必要的步驟。

16．（本題滿分12分，題（1）、（2）各6分）

已知函數(shù).

（1）求的最小正周期，并求的最小值；

（2）若，且，求的值。

17．（本題滿分14分）

隨著機構改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員人（140＜2a＜420，且a為偶數(shù)，每人每年可創(chuàng)利10萬元. 據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，若裁員人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬元，但公司需付下崗職員每人每年4萬元的生活費，并且該公司正常運轉情況下，所裁人數(shù)不超過50人，為獲得最大的經(jīng)濟效益，該公司應裁員多少人？

18．（本題滿分14分，題（1）6分，題（2）8分）

已知雙曲線的漸近線方程為，左焦點為F，過的直線為，原點到直線的距離是

（1）求雙曲線的方程；

 （2）已知直線交雙曲線于不同的兩點C，D，問是否存在實數(shù)，使得以CD為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點F。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

19．（本題滿分16分，題（1）4分，題（2）6分，題（3）6分）

對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù)。

① 對任意的，總有；

② 當時，總有成立。

已知函數(shù)與是定義在上的函數(shù)。

（1）試問函數(shù)是否為函數(shù)？并說明理由；

（2）若函數(shù)是函數(shù)，求實數(shù)組成的集合；

（3）在（2）的條件下，討論方程解的個數(shù)情況。

20．（本題滿分18分，題（1）4分，題（2）6分，題（3）8分）

已知點列順次為直線上的點，點列順次為軸上的點，其中，對任意的，點、、構成以為頂點的等腰三角形。

（1）證明:數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）求證:對任意的，是常數(shù)，并求數(shù)列的通項公式；

（3）對上述等腰三角形添加適當條件，提出一個問題，并做出解答。

（根據(jù)所提問題及解答的完整程度，分檔次給分）

2009年上海市八校聯(lián)合考試

數(shù)學試卷（理科答案）

（考試時間120分鐘，滿分150分）

１．；2．；３．；4． 2550 ；５．；６．；7． ；

８．；9．；１０．①②；１１．(1) 直角三棱錐中，三個直角面面積的平方和等于斜面面積的平方；(2) 直角三棱錐中，斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一．

1６．（本題滿分1２分）

解：（1）

                   =.   　　　　　　　　　　　　　　４分

      因此的最小正周期為,最小值為. 　　　　　　　　　　　 ６分

    (2)　由得=2，即，

      而由，得　.  　　　　　　　　　　９分

      故，      解得. 　　　　　　　　　　　　　 1２分

17.（本題滿分14分）

解：，設裁員x （）人，可獲得的經(jīng)濟效益為y萬元，則

     　　　　　　　　　　　　　　　　　　５分

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………6分

當取到最大值；　　　　……………9分

當取到最大值；……………………12分

答：當 時，公司應裁員人，經(jīng)濟效益取到最大值

當，公司應裁員50人， 經(jīng)濟效益取到最大值………………………1４分

18．(本題滿分14分)

解：（1）∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

原點到直線AB：的距離，　　４分

  故所求雙曲線方程為 　　　　　　　　6分

（2）把中消去y，整理得 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

設，則

因為以CD為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點F，所以 ，　　　10分

可得     把代入，

解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分

解，得，滿足，14分

１９．（本題滿分１６分）

解：（1） 當時，總有，滿足①，　　　　　　　1分

當時，

，滿足②4分

（2）若時，不滿足①，所以不是函數(shù)；　　　　　５分

若時，，在上是增函數(shù)，，

滿足①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６分

由 ，得，

即，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７分

因為

所以     與不同時等于1  

　　　　　　　　　８分

當時，  　　，　　　　　９分

 綜合上述：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1０分

（3）根據(jù)（２）知：　a=1，方程為，  　　　　　　１１分

令  方程為　　　　　　　　　　　　　１２分

                                                                13分

由圖形可知：

當時，有一解；

當 時，有二不同解；

當時，方程無解�！　　　　　　　　　　　�16分

20.(本題滿分１８分)

解: (1)依題意有,于是.

所以數(shù)列是等差數(shù)列.                      　　　　　　　　.4分

(2)由題意得,即 , ()         ①

所以又有.                        ②   

由②①得：,　所以是常數(shù)．　　　　　　　６分

由都是等差數(shù)列.

，那么得    ,

.    (      ８分

故                           　　 1０分

(3) 提出問題①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出實數(shù)

 提出問題②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出實數(shù)

解：問題①   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分

當為奇數(shù)時,,所以

當為偶數(shù)時,所以   　　　　

作軸,垂足為則,要使等腰三角形為直角三角形,必須且只須：.                  　　　　　　　　　　　　１３分

當為奇數(shù)時,有,即        ①

， 當, 不合題意.15分

當為偶數(shù)時,有 ，,同理可求得 

當時,不合題意. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1７分

綜上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值為或或.                                    　　　　　　　 1８分

解：問題②   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分

當為奇數(shù)時,,所以

當為偶數(shù)時,所以   　　　　

作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須：.                  　　　　　　　　　　　　１３分

當為奇數(shù)時,有,即        ①

， 當時，. 不合題意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15分

當為偶數(shù)時,有 ，,同理可求得  .

；；當時，不合題意．1７分

綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值為

；；�。�1８分