2009年3月上海市浦東新區(qū)高三數(shù)學調研試卷
考生注意:
1. 本次測試有試題紙和答題紙,作答必須在答題紙上,寫在試題紙上的解答無效.
2. 本試卷共有20道試題,滿分150分.考試時間100分鐘.
一、填空題(本題滿分55分)本大題共有11題,要求在答題紙相應題序的空格內直接填寫結果,
每個空格填對得5分,否則一律得零分。
1.不等式的解集為
。
2.若,
,
,且
,則
。
3.根據(jù)右邊的框圖,通過所打印數(shù)列的遞推關系,可寫出這個數(shù)列的第3
項是 。
4.已知實數(shù)和純虛數(shù)
滿足:
,(i為虛數(shù)單位),則
。
5.如果圓錐的側面展開圖是半圓,那么這個圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是 。
6.某賽車場的路線中有四個維修站如圖所示.若維修站之間有路線直接聯(lián)結(不經(jīng)過
其它維修站),則記為1;若沒有直接路線聯(lián)結,則記為0(
與
,
與
,
與
,
與
記0),現(xiàn)用矩陣表示這些維修站間路線聯(lián)結情況為 。
7.一個圓錐和一個半球有公共底面,如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等,
那么這個圓錐軸截面頂角的余弦值是 。
8.(文科)已知,
,
,則向量
與
的夾角為
。
(理科)某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個二進制的三位數(shù)
,其中
的各位數(shù)字中,
,
出現(xiàn)0的概率為
,出現(xiàn)1的概率為
,記
,當該計算機程序運行一次時,隨機變量
的數(shù)學期望是
。
9.如圖,
,
與
的夾角為
,
與
的夾角為
,
,
,
,若
=
,則
=
。
10.半徑為1的球面上的四點、
、
、
是正四面體的頂點,
則與
兩點間的球面距離為
。
11(文)某幾何體的一條棱長為,在該幾何體的正視圖和俯視圖中,這條棱的投影是長為
和
的線段,在該幾何體的側視圖中,這條棱的投影長為 。
11(理)設是四面體,
是
的重心,
是
上一點,且
,若
,則
為
。
二、選擇題(本題滿分20分)本大題共有4題,每題都給出四個結論,其中有且只有一個結論是正確的,必須把答題紙上相應題序內的正確結論代號涂黑,選對得 5分,否則一律得零分.
12.下列所給的四個命題中,不是真命題的為( )
兩個共軛復數(shù)的模相等
.
13.命題甲:實數(shù)滿足
;命題乙甲:實數(shù)
滿足
,則命題甲是命題乙的( )
充分不必要條件
必要不充分條件
充要條件
既不充分又不必要條件.
14(文)一個幾何體是由若干個相同的正方體組成的,其主視圖和左視圖如
圖所示,則組成這個幾何體的正方體的個數(shù)最多有 ( )
12個
13個
14個
18個
(理)如圖,已知長方形的四個頂點
,一質點從
的中點
沿與
夾角為
的的方向射到
邊上的點
后,依次反射到
和
上的點
和
(入射角等于反射角),設
的坐標為
,若
,則
的取值范圍是 ( )
)
15.一位同學對三元一次方程組(其中實系數(shù)
不全為零)的解的情況進行研究后得到下列結論:
結論1:當,且
時,方程組有無窮多解;
結論2:當,且
都不為零時,方程組有無窮多解;
結論3:當,且
時,方程組無解。
但是上述結論均不正確。下面給出的方程組可以作為結論1、2和3的反例依次為( )
(1); (2)
; (3)
。
(1)(2)(3)
(1)(3)(2)
(2)(1)(3)
(3)(2)(1).
三、解答題(本題滿分75分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域(對應的題號)內寫出必要的步驟。
16.(滿分12分)
在中,
所對的邊分別為
已知
,且
,求
的面積。
17.(滿分16分)本題共有3小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分7分。
(文)已知是拋物線
的準線與雙曲線
的兩條漸近線所圍成的三角形平面區(qū)域內(含邊界)的任意一點,求
的最大值。
(理)假設某射擊運動員的命中概率與距離的平方成反比。當他人在距離
(1)求該運動員在第二次和第三次命中目標的概率。
(2)求該運動員命中目標的概率.
.
18.(滿分16分)本題共有3小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.
某地消費券近日在上海引起領券“熱潮”。甲、乙、丙三位市民顧客分別獲得一些景區(qū)門票的折扣消費券,數(shù)量如表1。已知這些景區(qū)原價和折扣價如表2(單位:元)。
數(shù)量
景區(qū)1
景區(qū)2
景區(qū)3
甲
0
2
2
乙
3
0
1
丙
4
1
0
門票
景區(qū)1
景區(qū)2
景區(qū)3
原價
60
90
120
折扣后價
40
60
80
表1 表2
(1)按照上述表格的行列次序分別寫出這三位市民獲得的折扣消費券數(shù)量矩陣和三個景區(qū)的門票折扣后價格矩陣
;
(2)利用你所學的矩陣知識,計算三位市民各獲得多少元折扣?
(3)計算在對這3位市民在該次促消活動中,景區(qū)與原來相比共損失多少元?
19.(滿分16分)本題共有3小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.
已知若過定點
、以
(
)為法向量的直線
與過點
以
為法向量的直線
相交于動點
.
(1)求直線和
的方程;
(2)求直線和
的斜率之積
的值,并證明必存在兩個定點
使得
恒為定值;
(3)在(2)的條件下,若是
上的兩個動點,且
,試問當
取最小值時,向量
與
是否平行,并說明理由。
20.(滿分18分)本題共有3小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6,第3小題滿分8分。
個正數(shù)排成一個
行
列的矩陣
,其中
(
)表示該數(shù)陣中位于第
行第
列的數(shù),已知該數(shù)陣每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成公比為2的等比數(shù)列,且
,
。
(1)求和
;
(2)計算行列式和
;
(3)設,證明:當
是3的倍數(shù)時,
能被21整除。
2008學年度浦東新區(qū)高三數(shù)學調研試卷
一、填空題
1. 2.
3.156
4. -
5.
6. 7.
8.(理)
(文)
9.0
10. 11.(理)
(文)
二、選擇題
12.C 13.B 14.(理)C (文)B 15.B
三、解答題
16. 【解】(1)由已知:, (2分)
即, (4分)
∴,故
。
(6分)
(2)由,得
, (8分)
∴,
。 (10分)
故。
(12分)
17.【解】
(理)設三次事件依次為,命中率分別為
,
(1)令,則
,∴
,
,
。 (6分)
(2)。 (13分)
(文)拋物線的準線是
,
(3分)
雙曲線的兩條漸近線是
。 (6分)
三條線為成得三角形區(qū)域的頂點為,
,
,(10分)
當時,
。
(13分)
18.【解】(1),
。(4分)
(2)令,
,
,(8分)
即三位市民各獲得140、100和110元折扣。(10分)
(3)(元)。(16分)
19.【解】(1)直線的法向量
,
的方程:
,
即為;…(2分)
直線的法向量
,
的方程:
,
即為。 (4分)
(2)。 (6分)
設點的坐標為
,由
,得
。(8分)
由橢圓的定義的知存在兩個定點,使得
恒為定值4。
此時兩個定點為橢圓的兩個焦點。(10分)
(3)設,
,則
,
,
由,得
。(12分)
;
當且僅當或
時,
取最小值
。(14分)
,故
與
平行。(16分)
20.【解】(1)由,得
。由
,得第二行的公差
,
,∴
。(2分)
由,
,得
,∴
。(4分)
(2);(6分)
。(10分)
(3),
, 兩式相減,得
,
。(12分)當
時,
。(13分)
①時,
顯然能被21整除;(14分)
②假設時,
能被21整除,當
時,
能被21整除。結論也成立。(17分)
由①、②可知,當是3的倍數(shù)時,
能被21整除。(18分)
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