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練習(xí)冊

練習(xí)冊
試題

2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)（必修+選修Ⅱ）

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分. 共150分. 考試時間120分鐘.

第I卷（選擇題共60分）

文本框: 球的表面積公式
S=4
其中R表示球的半徑，
球的體積公式
V= ，
其中R表示球的半徑參考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互獨立，那么

P（A?B）=P（A）?P（B）

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么

n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率

P_n(k)=CP^k(1－P)ⁿ^－k

一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共60。

（2）已知函數(shù) （A）b （B）－b （C）（D）－

（3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a+3b|= （A）（B）（C）（D）4

（4）函數(shù)的反函數(shù)是（A）y=x²－2x+2(x<1) （B）y=x²－2x+2(x≥1)

（C）y=x²－2x (x<1) （D）y=x²－2x (x≥1)

（5）的展開式中常數(shù)項是（A）14 （B）－14 （C）42 （D）－42

（6）設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足AB I，則下列各式中錯誤的是

（7）橢圓的兩個焦點為F₁、F₂，過F₁作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則=

（A）（B）（C）（D）4

（8）設(shè)拋物線y²=8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l 的斜率的取值范圍是

（A）[－，] （B）[－2，2] （C）[－1，1] （D）[－4，4]

（9）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（A）向右平移個單位長度（B）向右平移個單位長度

（C）向左平移個單位長度（D）向左平移個單位長度

（10）已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于

（A）（B）（C）（D）

（11）從數(shù)字1，2，3，4，5，中，隨機抽取3個數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為

（A）（B）（C）（D）

（12）的最小值為（A）－（B）－（C）－－（D）+

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

（13）不等式|x+2|≥|x|的解集是 .

（14）由動點P向圓x²+y²=1引兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=60°，則動點P的軌跡方程為 .

（15）已知數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+(n－1)a_n_－1(n≥2)，則{a_n}的通項

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

1, n=1,

a_n= ,n≥2.

（16）已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a、b在α上的射影有可能是 .

①兩條平行直線 ②兩條互相垂直的直線

③同一條直線 ④一條直線及其外一點

在一面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是（寫出所有正確結(jié)論的編號）.

（17）（本小題滿分12分）

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

求函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值.

（18）（本小題滿分12分）

一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響.假設(shè)該時刻有ξ部電話占線.試求隨機變量ξ的概率分布和它的期望.

（19）（本小題滿分12分）

已知求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（20）（本小題滿分12分）

如圖，已知四棱錐 P―ABCD，PB⊥AD側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.

（II）求面APB與面CPB所成二面角的大小.

（21）（本小題滿分12分）

設(shè)雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.

（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：

（II）設(shè)直線l與y軸的交點為P，且求a的值.

（22）（本小題滿分14分）

已知數(shù)列，且

a_2k=a_2k_－1+(－1)^k,

a_2k+1=a_2k+3^k,

其中k=1,2,3,…….

（I）求a₃, a₅；

（II）求{ a_n}的通項公式.

2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

一、選擇題

（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）B

（7）C （8）C （9）B （10）A （11）D （12）B

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）{x|x≥－1} （14）x²+y²=4 （15）（16）①②④

三、解答題

（17）本小題主要考查三角函數(shù)基本公式和簡單的變形，以及三角函婁的有關(guān)性質(zhì).滿分12分.

解：

所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

（18）本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念.考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.

解：P(ξ=0)=0.5²×0.6²=0.09.

P(ξ=1)= ×0.5²×0.6²+ ×0.5²×0.4×0.6=0.3

P(ξ=2)= ×0.5²×0.6²+×0.5²×0.4×0.6+ ×0.5²×0.4²=0.37.

P(ξ=3)= ×0.5²×0.4×0.6+×0.5²×0.4²=0.2

P(ξ=4)= 0.5²×0.4²=0.04

于是得到隨機變量ξ的概率分布列為：

ξ

0

1

2

3

4

P

0.09

0.3

0.37

0.2

0.04

所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

（19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概率和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.滿分12分.

解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：

（I）當a=0時，若x<0，則<0，若x>0,則>0.

所以當a=0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù).

（II）當

由

所以，當a>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間（－∞，－）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（－，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；

（III）當a<0時，由2x+ax²>0，解得0<x<－,

由2x+ax²<0，解得x<0或x>－.

所以當a<0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，－）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（－，+∞）內(nèi)為減函數(shù).

（20）本小題主要考查棱錐，二面角和線面關(guān)系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力.滿分12分.

^{<thead id="ugmys"></thead>}

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，點E為AD的中點，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE?sin60°=，

即點P到平面ABCD的距離為.

（II）解法一：如圖建立直角坐標系，其中O為坐標原點，x軸平行于DA.

.連結(jié)AG.

^{<blockquote id="ugmys"></blockquote>}

所以

等于所求二面角的平面角，

于是

所以所求二面角的大小為 .

解法二：如圖，取PB的中點G，PC的中點F，連結(jié)EG、AG、GF，則AG⊥PB，F(xiàn)G//BC，F(xiàn)G=BC.

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE?cos60°=.

在Rt△PEG中，EG=AD=1.

于是tan∠GAE==,

又∠AGF=π－∠GAE.

所以所求二面角的大小為π－arctan.

（21）（本小題主要考查直線和雙曲線的概念和性質(zhì)，平面向量的運算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.

解：（I）由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組

有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得

（1－a²）x²+2a²x－2a²=0. ①

雙曲線的離心率

（II）設(shè)

由于x₁+x₂都是方程①的根，且1－a²≠0，

（22）本小題主要考查數(shù)列，等比數(shù)列的概念和基本知識，考查運算能力以及分析、歸納和推理能力.滿分14分.

解：（I）a₂=a₁+(－1)¹=0,

a₃=a₂+3¹=3.

a₄=a₃+(－1)²=4,

a₅=a₄+3²=13,

所以，a₃=3,a₅=13.

(II) a_2k+1=a_2k+3^k

= a_2k_－1+(－1)^k+3^k,

所以a_2k+1－a_2k_－1=3^k+(－1)^k,

同理a_2k_－1－a_2k_－3=3^k^－1+(－1)^k^－1,

……

a₃－a₁=3+(－1).

所以(a_2k+1－a_2k_－1)+(a_2k_－1－a_2k_－3)+…+(a₃－a₁)

=(3^k+3^k^－1+…+3)+[(－1)^k+(－1)^k^－1+…+(－1)],

由此得a_2k+1－a₁=(3^k－1)+[(－1)^k－1],

于是a_2k+1=

a_2k= a_2k_－1+(－1)^k

=(－1)^k^－1－1+(－1)^k

=(－1)^k=1.

{a_n}的通項公式為：

當n為奇數(shù)時，a_n=

當n為偶數(shù)時，

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