Question

【題目】設函數(shù)， （）.

（1）當時，若函數(shù)與的圖象在處有相同的切線，求的值；

（2）當時，若對任意和任意，總存在不相等的正實數(shù)，使得，求的最小值；

（3）當時，設函數(shù)與的圖象交于 兩點．求證： .

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由導數(shù)幾何意義可得，又，解方程組可得的值；（2）先轉(zhuǎn)化條件為對應方程有兩個不等實根，再根據(jù)實根分布充要條件列不等式組，解得的最小值；(3)先根據(jù)零點表示b，代入要證不等式化簡得.再構(gòu)造函數(shù)，以及，結(jié)合導數(shù)研究其單調(diào)性，即證得結(jié)論

試題解析：解：（1）由，得，又，所以，.

當時， ，所以，所以.

因為函數(shù)與的圖象在處有相同的切線，

所以，即，解得.

（2）當時，則，又，設，

則題意可轉(zhuǎn)化為方程在上有相異兩實根．

即關于的方程在上有相異兩實根．

所以，得，

所以對恒成立．

因為，所以（當且僅當時取等號），

又，所以的取值范圍是，所以．

故的最小值為.

（3）當時，因為函數(shù)與的圖象交于兩點，

所以，兩式相減，得.

要證明，即證，

即證，即證.

令，則，此時即證．

令，所以，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增．

又，所以，即成立；

再令，所以，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞減，

又，所以，即也成立．

綜上所述， 實數(shù)滿足.