Question

【題目】已知直線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B．點(diǎn)C在軸上運(yùn)動，作CD⊥AB，垂足為D．點(diǎn)E為軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于CD中點(diǎn)的中心對稱點(diǎn)為點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，n)．

（1）用n表示線段CD的長；

（2）當(dāng)OC＝1時，若點(diǎn)F落在直線y軸上，求此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，若存在唯一的位置，使得四邊形CEDF為矩形，請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）C的坐標(biāo)為(0，0)或(0，)或(0，)或(0，)

【解析】

（1）先求出A，B坐標(biāo)，然后表示出BC，OA，BA，再證明△BCD∽△BAO，得出，即可求出CD；

（2）先求出CD的解析式，然后聯(lián)立CD和AB的解析式得出D的坐標(biāo)為，設(shè)CD的中點(diǎn)為G，得出G的坐標(biāo)為（），然后根EF關(guān)于G對稱，且F在y軸，可求出答案；

（3）根據(jù)題意得要想讓四邊形CEDF為矩形，則有C，E，D，F四點(diǎn)共圓，可推出四種情況①點(diǎn)C與點(diǎn)O重合；②點(diǎn)C在線段OB上；③點(diǎn)D與點(diǎn)A重合；④點(diǎn)C在y負(fù)半軸上，且以CD為直徑的圓與x軸相切，分別討論即可．

解：（1）由題意可求出直線與軸相交于點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），與軸相交于點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，n)，

∴BC=4-n，OA=3，BA=5，

∵CD⊥AB，∠DBC=∠ABO，

∴△BCD∽△BAO，

∴，

∴，

∴；

（2）∵OC=1，

∴C（0，1），

∵CD⊥AB，

∴kCD·kAB=-1，

∵kAB=，

∴kCD=，

∴設(shè)CD的解析式為y=x+b，

將C代入得b=1，

∴CD的解析式為y=x+1，

聯(lián)立CD和AB的解析式得：，

解得：，

∴D的坐標(biāo)為（），

設(shè)CD的中點(diǎn)為G，

∴G的坐標(biāo)為（），

∵EF關(guān)于G對稱，且F在y軸，

∴xG-xE=0-xG，

xE=，

∴；

（3）要想讓四邊形CEDF為矩形，

根據(jù)矩形的性質(zhì)可知這四點(diǎn)共圓，圓心為CD中點(diǎn)G，

如圖，可得出四種情況，

①點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，此時C的坐標(biāo)為(0，0)；

②點(diǎn)C在線段OB上，此時以CD為直徑的圓與x軸相切，

設(shè)CD的解析式為：y=x+n，

聯(lián)立CD和AB的解析式可得D的坐標(biāo)為（），

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（），

∵以CD為直徑的圓與x軸相切，

∴GE⊥x軸，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)G相同，

∴E的坐標(biāo)為（，0），

∵CD=GE，

∴可得×=，

解得n=，

∴C的坐標(biāo)為(0，)；

③點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，

此時D的坐標(biāo)為（-4，0），E的坐標(biāo)為（0，0），

∵四邊形CEDF是矩形，

∴根據(jù)勾股定理可得=，

解得n=

∴C的坐標(biāo)為：(0，)；

④點(diǎn)C在y負(fù)半軸上，且以CD為直徑的圓與x軸相切，

由②可得此時×=-，

解得n=，

∴C的坐標(biāo)為：(0，)；

綜上，C的坐標(biāo)為：(0，0)或(0，)或(0，)或(0，)．