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練習冊

練習冊
試題

試卷類型：A

廣東省湛江市2009年普通高考測試題(二)

數(shù) 學(理科)

本試卷共4頁，共21小題，滿分150分�？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：

1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡上，用2B鉛筆將答題卡試卷類型(A)填涂在答題卡上。在答題卡右上角的“試室號”和“座位號”欄填寫試室號、座位號，將相應的試室號、座位號信息點涂黑。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B型鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上。

3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。

4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

參考公式：

棱錐的體積公式如果事件、相互獨立，那么

其中是底面面積，是高

一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．若集合，，則集合=（）

A． B． C． D．

2．若向量，，則=（）

A． B． C． D．

3．若方程在內(nèi)有解，則的圖象是（）

4．若直線與圓相切，且為銳角，則這條直線的斜率是（）

A． B． C． D．

5．已知，，且，，成等比數(shù)列，則（）

A．有最大值 B．有最大值

C．有最小值 D．有最小值

6．已知中，A、B的坐標分別為和，若三角形的周長為10，則頂點C的軌跡方程是（）

A．（） B．（）

C．（） D．（）

7．已知棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)，M

分別是、、的中點，又P、Q分別在線段

、上，且，，設面

面，則下列結(jié)論中不成立的是（）

A．面

B．

C．面與面不垂直

D．當變化時，不是定直線

8．設函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使對一切實數(shù)均成立，則稱為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，且對一切，均有．其中是“倍約束函數(shù)”的有（）

A．1個 B．2個

C．3個 D．4個

(一)必做題(9～12題)

二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分．滿分30分．

9．曲線在處的切線的傾斜角為．

10．某網(wǎng)絡公司為了調(diào)查一住宅區(qū)連接互聯(lián)網(wǎng)

情況，從該住宅區(qū)28000住戶中隨機抽取

了210戶進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如右圖，

則估計該住宅區(qū)已接入互聯(lián)網(wǎng)的住戶數(shù)

是．

11．設，其中、滿足，

若的最小值為，則的最大值為．

12．學校安排4名教師在六天里值班，每天只安排一名教師，每人至少安排一天，至多安排兩天，且這兩天要相連，那么不同的安排方法種數(shù)是 (用數(shù)字作答)．

(二)選做題(13～15題，考生只能從中選做二題)

13．(坐標系與參數(shù)方程選做題)曲線：（為參數(shù)），若以點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，則該曲線的極坐標方程是．

14．(不等式選講選做題)已知關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的最小值是。

15．(幾何證明選講選做題)如圖，半圓的半徑為，

為直徑，為的中點，D為的三分之一

分點，且的長等于兩倍的長。連結(jié)并延

長交半圓以為切點的切線于E，則= 。

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16．(本小題滿分12分)

已知函數(shù)．

(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期；

(Ⅱ)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

17．(本小題滿分12分)

某地區(qū)舉辦青少年科技創(chuàng)新大賽，有50件科技創(chuàng)新作品進入了最后的評審階段，大賽組委會對這50件作品分別從“藝術(shù)與創(chuàng)新”和“功能與實用”兩項進行評分，每項評分均按等級采用5分制，若設“藝術(shù)與創(chuàng)新”得分為，“功能與實用”得分為，統(tǒng)計結(jié)果如下表：

作品數(shù)量

功能與實用

1分

2分

3分

4分

5分

藝

術(shù)

與

創(chuàng)

新

1分

1

3

1

0

1

2分

1

0

7

5

1

3分

2

1

0

9

3

4分

1

b

6

0

a

5分

0

0

1

1

3

(Ⅰ)求“藝術(shù)與創(chuàng)新為4分且功能與實用為3分”的概率；

(Ⅱ)若“功能與實用”得分的數(shù)學期望為，求、的值。

18．(本小題滿分14分)

在四棱錐中，，

，平面，為

的中點，．

(Ⅰ)求四棱錐的體積；

(Ⅱ)若為的中點，求證：平面平面；

(Ⅲ)求二面角的大小．

19．(本小題滿分14分)

設函數(shù)在上的導函數(shù)為，在上的導函數(shù)為，若在上，恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知．

(Ⅰ)若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，試確定實數(shù)的值；

(Ⅱ)若當實數(shù)滿足時，函數(shù)在上總為“凸函數(shù)”，求的最大值．

20．(本小題滿分14分)

已知拋物線方程（，且）．

(Ⅰ)若拋物線焦點坐標為，求拋物線的方程；

(Ⅱ)若動圓過，且圓心在該拋物線上運動，E、F是圓和軸的交點，試探究是否可能為定值?若有可能，求出令為定值的條件，若無可能，請說明理由．

21．(本小題滿分14分)

數(shù)列中，，，（）．

(Ⅰ)試求、的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；

(Ⅱ)設數(shù)列滿足：，為數(shù)列的前項和．

證明：時，．

湛江市2009年普通高考測試題(二)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

9．（） 10．12000 11．4 12．144 13．

14． 15．

三、解答題(本大題共6小題，共80分)

16．(本小題滿分12分)

解：（Ⅰ）…………………………………2分

……………………………………………………3分

………………………………………………………5分

∴函數(shù)的最小正周期…………………………………………6分

（Ⅱ）當時，………………………………………8分

∴當即時，函數(shù)單調(diào)遞增……………………10分

當即時，函數(shù)單調(diào)遞減……………………12分

17．(本小題滿分12分)

解：∵作品數(shù)量共有50件，∴…………①……………………2分

（Ⅰ）從表中可以看出，“藝術(shù)與創(chuàng)新為4分且功能與實用為3分”的作品數(shù)量為6件，

∴“藝術(shù)與創(chuàng)新為4分且功能與實用為3分”的概率為……………4分

（Ⅱ）由表可知“功能與實用”得分有1分、2分、3分、4分、5分五個等級，且每個等級分別有5件，件，15件，15件，年。

∴“功能與實用”得分的分布列為：

1

2

3

4

5

…………………………………8分

又∵“功能與實用”得分的數(shù)學期望為，

∴

與①式聯(lián)立可解得：，……………………12分

18．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）在中，，，∴，……1分

在中，，，∴，…………2分

∴…………4分

則…………………………………………5分

（Ⅱ）∵平面，∴…………………………6分

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∴平面………………………7分

∵、分別為、中點，

∴………………………8分

∴平面………………………9分

∵平面，∴平面平面

………………………10分

（Ⅲ）取的中點，連結(jié)，則，

∴平面，過作于，

連接，則為二面角的平面角。

…………………………12分

∵為的中點，，，

∴，又，

∴，故

即三面角的大小為…………………………14分

19．(本小題滿分14分)

解：由函數(shù)得，………………3分

(Ⅰ) 若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，則有在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當且僅當

，

即． …………………………………………………7分

(Ⅱ)當時，恒成立當時，恒成立．……………………………………………………………………………8分

當時，顯然成立。 …………………………………9分

當，

∵的最小值是．

∴．

從而解得 …………………………………………………………………11分

當，

∵的最大值是，∴，

從而解得． ………………………………………………………………13分

綜上可得，從而 ………………………………14分

20．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點為（），………………………1分

∴………………………………………………………………………2分

∴，所求方程為………………………………………4分

（Ⅱ）設動圓圓心為，（其中），、的坐標分別為，

因為圓過，故設圓的方程……………6分

∵、是圓和軸的交點

∴令得：…………………………………………………8分

則，

…………………10分

又∵圓心在拋物線上

∴ …………………………………………………………………11分

∴…………………………………．12分

∴當時，(定值)． ……………………………………………14分

21．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）若為等比數(shù)列，則存在，使

對成立。…………………2分

由已知：，代入上式，整理得

………①……………4分

∵①式對成立，

∴解得……………………………………5分

∴當，時，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列…………6分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：，即

所以……………………………8分

∵…………………………9分

時，

…………………………11分

現(xiàn)證：（）

證法1：

當時，，

而，，故時成立�！�12分

時，由

且得，，∴…………………14分

證法2：

時

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個

∴……………………………………14分

證法3：

（1）時，

，故時不等式成立……………………12分

（2）假設（）

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