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1、導數(shù)的背景：導數(shù)是從變化率引申而來的，即時變化率即為導數(shù)；它有三個常見的實際背景與意義：⑴在某點的切線斜率；⑵位移對時間的導數(shù)就是即時速度；⑶速度對時間的導數(shù)就是即時加速度

2、導數(shù)的運算：⑴一般計算一個函數(shù)導數(shù)的方法步驟是：

S1:求函數(shù)的增量；

       S2:求平均變化率；

S3:取△x→0時極限，得導數(shù)

⑵導數(shù)的運算法則：（u±v）’ =u’±v’ ；(uv）’=u’v+uv’；（）’=；y’_x=y’_u?u’

⑶常見函數(shù)的導數(shù)：⑴ (kx+b)^/=k；⑵（xⁿ）’=nx^n-1；⑶（sinx）’ =cosx；⑷（cosx）’ = -sinx；

⑸（lnx）’ = ；⑹（a^x）’ = a^xlna

這里：xⁿ中n為實數(shù)；至于其他的如（log_ax）’ = =;（e^x）’ = e^x

二、應用舉例

例1、煤場的煤堆是圓錐形堆放，圓錐母線與底面成角為α，⑴寫出高h與半徑r的關(guān)系；⑵傳輸帶以0.3m³/min送煤，求半徑r=.1.7m時的r的膨脹率（教材P56-----11）

解：⑴h=rtanα

⑵V=πr²h=πr³tanα，V_t^/=πr².r_t^/tanα，由0.3=π×1.7²×r_t^/tanα，r_t^/=(m/min)

說明：實際背景題要根據(jù)實際情況來確定

例2、已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求h→0時，的值

解：

練習1：上面條件不變，求在h→0時的極限值

練習2：求(tanx)^/和（）^/的值

說明：通過該例，體會一般的定義法和運算法則的求法

例3、求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y=sin⁴3xcos³4x    (2)y=2(+)(教材P57----13)

解：(1)y^/=(sin⁴3x)^/cos³4x+sin⁴3x(cos³4x)^/=4sin³3xcos3x.3cos³4x+sin⁴3x3cos²4x(-sin4x)4=

 (2) y^/=2()^/+()^/=2[+(-)]=-)

通過此例，掌握導數(shù)運算中的復合函數(shù)方法

例4、f(x)=sinx,g(x)=sin3x,0<x<,求(1)兩個函數(shù)的交點坐標（參考公式：sin3x=3sinx-4sin³x）;(2)求兩曲線在交點處的夾角的余弦值（即交點處兩曲線切線的夾角）（教材P56----12改編）

解：(1)sinx=3sinx-4sin³x, 0<x<,x=,交點為

(2)f^/()=cos==k₁,g^/()=3cos(3. )=-=k₂,由圖形得出夾角為α，兩切線傾斜角分別為α₁、α₂，有tanα=|tan(α₂-α₁)|=||=||4，從而cosα=

四：作業(yè)：[A組]教材P56----1~4,5(1)(2),6

補充習題： [B組] 1、已知曲線，曲線，直線與都有相切，求直線的方程。

[C組]2、求曲線x²+2y²-4x+4y=100在其上一點(x₀,y₀)的切線方程，由之你能得到什么結(jié)論？

[補充解答]

1、 解：設直線與的切點分別為，

又  

或， 的方程為： 或

2、兩邊對x求導數(shù)得：2x₀+4y₀y^/-4+4y^/=0,,切線為y-y₀=(x-x₀)整理得2x+4yy^/-4+4y^/=0x₀x+2y₀y-2(x+x₀)+4(y+y₀)=100,規(guī)律過二次曲線上一點(x₀,y₀)的切線方程是以x₀x代替其中x²,y₀y代替y²,代替其中的x，代替其中的y

[教后感想與作業(yè)情況]

導數(shù)與定積分復習（2）――導數(shù)的應用與定積分

[教學目標]

[教學難點、重點]導數(shù)的應用

[教學過程]

1、導數(shù)應用的常用問題：(1)求曲線切線的斜率或切線方程（注意必須在此點可導）；(2)求函數(shù)的單調(diào)性（注意分界點處能否包含）；(3)求函數(shù)的極值與最值（一般根據(jù)單調(diào)性，單峰函數(shù)可以說明）

2、定積分：（1）求法分割→以直代曲→求和→取極限（逼近））；微積分的基本定理：對于在[a,b]上可導的函數(shù)F(x),=F(b)-F(a)

（2）意義：曲邊梯形的面積，力對時間的積分為功，速度對時間的積分為位移

二、應用

例1、如圖，在半徑為常量，圓心角為變量2θ(0<θ<2π)的扇形OAB內(nèi)作內(nèi)切圓P，再在扇形內(nèi)作一個與扇形兩半徑相切并與圓P外切的小圓Q，求圓Q半徑的最大值（教材P57----16，練習導數(shù)應用）

解：設⊙P半徑為x,⊙Q半徑為y,⊙P切OA于E，則sinθ=,x=,同理y=

=,設sinθ=t∈(0,1),y=r,y^/=r,t=時,y_極大=y_max=

練習：f(x)=x³+ax²+bx+c,f^/(x)有兩個零點-、1

(1)求a,b的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間；  (2)f(x)<c²在[-2,2]上恒成立，求c的范圍

（a=-,b=-2;增區(qū)間、，減區(qū)間[-,1],c<-1或c>2）

例2、所以如圖所示，曲線段OMB是函數(shù)的圖像，軸于A，曲線段OMB上一點處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q.

（1）試用表示切線PQ的方程；

（2）設△QAP的面積為，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，試求出的最小值；

（3）根據(jù)的最大的t的范圍，試求出點P橫坐標的取值范圍.

解：（1）

切線PQ的方程           

   （2）令y=0得                          

由解得 .  又0<t<6, ∴4<t<6，                                        

g (t)在(m, n)上單調(diào)遞減，故（m, n）    

（3）當在（0，4）上單調(diào)遞增，

∴P的橫坐標的取值范圍為.

說明：導數(shù)有時可以與其他知識結(jié)合一起進行綜合，常見的有與解析幾何、不等式和數(shù)列進行綜合

三、總結(jié)：

[補充習題][B組]1、 已知函數(shù)在處取得極值，

（1）用表示f^/(x)；

（2）設函數(shù)如果在區(qū)間上存在極小值，求實數(shù)的取值范圍.

 [補充習題解答]

1、解：（1）

   （2）由已知令＝0

①若,則當時，>0；當時，.

所以當時，在有極小值.

②同理當時，，即時，在有極小值.

綜上所述：當時，在有極小值.

 [教后感想與習題情況]