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一、創(chuàng)設情景

1、學習直線與圓時，對圓的認識經歷了以下過程

2、學習了橢圓的定義，也有類似的思考

二、建構數學

1、橢圓標準方程的推導

如圖，建立直角坐標系xOy，使x軸經過點F₁、F₂，并且O與線段F₁F₂的中點重合.

設M（x,y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c(c＞0)，

那么焦點F₁、F₂的坐標分別是（－c,0），(c,0).

又設M與F₁和F₂的距離的和等于常數2a.

由橢圓定義，橢圓就是集合P=｛MㄏMF₁+MF₂=2a｝

因為MF₁=，MF₂=

所以得：+=2a整理得：（a²－c²）x²+a²y²=a²(a²－c²).

由橢圓的定義可知：2a＞2c，即a＞c，故a²－c²＞0.

令a²－c²=b²，其中b＞0，代入上式整理得：

2、橢圓的標準方程：

標準方程

不

同

點

圖

形

焦點坐標

兩軸上截距

(±a,0)與(0,±a)

(0,±a)與(±b,0)

相

同

點

定   義

平面內到兩個定點F₁、F₂的距離的和等于

常數（大于F₁F₂）的點的軌跡

a、b、c的關系

焦點位置的判斷

分母哪個大，焦點就在哪個軸上

橢圓的一般方程：mx²+ny²=1    (m,n∈R⁺,m≠n)

三、數學運用

1、例1. 已知一個運油車上的儲油罐截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的兩個點到兩個焦點的距離的和為3m，求這個橢圓的標準方程。

分析:

橢圓標準方程為：

例2、已知方程(2-k)x²+ky²=2k-k²表示焦點在x軸上的橢圓，求k的范圍

解：原方程可以化為+=1，k>2-k>0,故1<k<2

  練習:課本28頁1，2，3

四、回顧總結

通過本節(jié)學習，要求理解并掌握橢圓定義，并熟練掌握橢圓的兩種標準方程

作業(yè)：課本第28頁1、2、4

[補充習題]

1、方程=10,化簡的結果是 __________   

2、如圖，F(3,0)是橢圓的一個焦點，且CF⊥x軸，OC∥AB,則橢圓的標準方程是_________

3、α，方程sinαx²+cosαy²=1表示焦點在x軸上的橢圓，則α的取值范圍為 _____

4、橢圓焦距為2，則m=________________

5、橢圓中a+c=10,a-c=4,則橢圓的方程為___________________________

6、 已知⊙C₁:x²+y²+4x=0,⊙C₂:x²+y²-4x-60=0,⊙M和定圓⊙C₁外切和⊙C₂內切，求點M的軌跡方程

7*、在面積為l的△PMN中tgM＝1/2，tgN＝－2，建立適當的坐標系，求出以M,N為焦點且過點P的橢圓方程.　　　　　　　　　　　　　　　　

[答案]1、

2、

3、（0，）

4、5或3

5、橢圓或

6、
　7*、　
　解法一:建立直角坐標系如圖:以MN所在直線為x軸,MN的垂直平分線為y軸。
設橢圓方程為：x²/a²＋y²/b²＝1 分別記M、N、P點的坐標為(-c,0)、(c,0)和(x₀,y₀).
∵ tgα=tg(π-∠N)=2,∴ 由題設知　　 　　　　在△MNP中，MN＝2c，MN上的高為4c/3
　　∴  　　
　　∴a＝(│PM│+│PN│)/2＝從而 b²=a²-c²=3.
解法二:同解法一得：∵ 點P在橢圓上,且a²=b²+c².　　　解得b²＝3　或　b²＝-1/3(舍去)a²=b²＋c²=15/4.故所求橢圓的方程為：4x²/15＋y²/3＝１

§2.2.1橢圓的標準方程(2)――標準方程的應用

教學目標：

教學重點：橢圓的定義與標準方程

教學難點：根據已知條件求橢圓的標準方程。

教學過程：

二、數學運用

例1求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經過兩點的橢圓的標準方程；

分析：可能是a,也可能是b,相應設方程、解方程得到橢圓方程為：5x²+4y²=1或4x²+5y²=1

變形：設橢圓的焦點為F₁，F₂,M為橢圓上任意一點，MF₁F₂能構成三角形，方程是什么？ MF₁>MF₂呢？

說明：①求出曲線后，要注意檢查一下方程的曲線上的點是否都符合題意，如果有不符合題意的點，應在所得方程后注明限制條件；

②要求學生對圓錐曲線的定義比較熟悉，這樣可以在求曲線軌跡方程時，簡化求解步驟，快速準確的用待定系數法求方程。

例2  將圓上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话�，求所得曲線得方程，并說明它是什么曲線？

解：[方法一]用相關點法：設所得曲線上任意一點得坐標為，圓上對應點的坐標為     因為    所以

[方法二]參數法：設圓上任意一點坐標為(2cosθ,2sinθ), 曲線上任意一點得坐標為,則

，消去θ得方程為

說明：在求解曲線軌跡的過程當中，使用到了利用中間變量求軌跡的方法，此中間變量可以是相關點法，也可以是參數法。

變式： 已知F是橢圓25x²+16y²=400在x軸上方的焦點，Q是此橢圓上任意一點，點P是的中點，求動點P的軌跡方程.（100x²+16（2y-3）²=400）

例3、已知P為橢圓上的一點，是焦點，,求面積S

解：S=PF₁.PF₂sinα，而F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁.PF₂cosα=(PF₁+PF₂)²-2PF₁.PF₂(1+cosα)

4c²=4a²-2PF₁.PF₂(1+cosα)PF₁.PF₂=2(a²-c²)=2b²,S=.2b²=

說明：橢圓的方程和定義有時要混合使用

練習：橢圓內有一點A,F₁為左焦點，在橢圓上求一點P，使PF₁+PA取最值

（設F₂為右焦點，則PF₁+PA=2a+PA-PF₂,過A和F₂作直線與橢圓的交點即為所求）

三、回顧總結：

（1）橢圓的定義及標準方程；

（2）橢圓的標準方程有兩個；標準方程中的關系；

（3）用定義法、待定系數法、中間變量法求橢圓的方程

[補充習題]

   1、△ABC中，A(-6,0),B(6,0),求滿足下列條件的點C的軌跡方程。(1)BC、AB、AC成等差數列，且BC>AC_____________________;(2)AC、BC所在直線斜率乘積為-__________

   2、F₁,F₂為兩個焦點，過F₂的直線交橢圓于A、B兩點，AB=5,則AF₁+BF₁=____

   3、圓x²+y²=4上任意一點P作PA⊥x軸于A,PA的中點為M，則M的軌跡方程為______

   4、已知x軸上一定點A(1,0),Q為+y²=1上的動點，求AQ的中點M的軌跡方程

   5、F₁、F₂分別是橢圓的左右焦點，A、B分別是橢圓與x軸的兩個交點，P為橢圓上任意一點。求證：以PF₂為直徑的圓與以AB為直徑的圓內切

[答案]

1、(1)+=1，x<0,y≠0;(2)

2、11

3、x²+4y²=4

4、(2x-1)²+16y²=4

5、略

§2.2.2橢圓的幾何性質(1)

1、知識與技能：掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點，掌握幾何意義以及的相互關系，初步學習利用方程研究曲線性質的方法。

2、過程與方法：利用曲線的方程來研究曲線性質的方法是學習解析幾何以來的第一次，通過初步嘗試，使學生經歷知識產生與形成的過程，不僅注意對研究結果的掌握和應用，更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗數學發(fā)現和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。

3、情感、態(tài)度與價值觀：通過自主探究、交流合作使學生親身體驗研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學習精神和探索勇氣；通過觀察與思考，讓學生體會橢圓方程結構的和諧美和橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學生的審美習慣和良好的思維品質。

教學重點：橢圓的幾何性質

教學難點：橢圓離心率與橢圓關系

教學過程：

1、橢圓的定義與標準方程

2、思想方法總結：利用平面直角坐標系，把幾何問題轉化為代數問題處理。

建立曲線方程的目的就是要用代數的方法研究幾何問題，本課就是要根據橢圓的標準方程去研究橢圓的幾何性質。

在以前的學習中，我們已經接觸到如何通過方程研究幾何問題，例如直線的平行與垂直，函數奇偶性中函數解析式的特征與圖象的對稱性的關系等等，請思考：

如何根據橢圓標準方程研究幾何性質？

１、范圍：由標準方程可知，橢圓上的點的坐標（x,y）都適合不等式

橢圓位于直線和所圍成的矩形里．

即,

2、對稱性：  

從圖形上看：橢圓關于x軸、y軸、原點對稱。從方程上看： 

（1）把x換成-x方程不變，圖象關于y軸對稱；

（2）把y換成-y方程不變，圖象關于x軸對稱；

（3）把x換成-x，同時把y換成-y方程不變，圖象關于原點成中心對稱。

３、頂點：

令 x=0，得 y=？，說明橢圓與 y軸的交點？（-a,0）,(a,0)

令 y=0，得 x=？說明橢圓與 x軸的交點？(０,-b), (0,b)

(1)頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。

(2)長軸、短軸：線段、線段分別叫橢圓的長軸和短軸，

它們的長分別等于2a和2b；

(3)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

4、離心率：

橢圓的焦距與長軸長的比，叫做橢圓的離心率．

說明①因為所以．

②e越接近１，則c越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；

反之，e越接近于０，c越接近于０，從而b越接近于a，這時橢圓就接近于圓；

③當且僅當a=b時，c=0，這時兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A．

[對于上述性質要求學生熟練掌握，并能由此推出焦點在y軸的橢圓標準方程的幾何性質（要求學生自己歸納），并能根據橢圓方程得到相應性質．]

三、數學運用

教材32頁練習1，2，3

例1、橢圓的一個焦點與兩頂點連成正三角形，則長軸是短軸的多少倍？

解答：根據對稱性和頂點性質，一個焦點與短軸頂點的連線就是長半軸，原點、短軸的一個頂點、一個焦點構成一個直角三角形，a=b

變形1：上題中，離心率為__________？（）

變形2：橢圓短軸的一個頂點對兩個焦點的張角（或視角）為120⁰，離心率為____（）

例2、求橢圓（a>b>0）上點到左焦點F距離的最值

解：[方法一]設P(x,y)為橢圓上任意一點,則，PF²=(x+c)²+y²=x²+2cx+c²+b²(1-)=

x²+2cx+a²在-a≤x≤a上單調增，x=-a時PF²_min=(c-a)²,x=a時PF²_max=(a+c)²,∴PF_max=a+c,PF_min=a-c反應在圖上正好為長軸的兩個頂點

[方法二]設P(acosθ,bsinθ),PF²=(acosθ+c)²+(bsinθ)²=c²cos²θ+2ca.cosθ+a²是cosθ的單調增函數，∴cosθ=-1時，PF²_min=(c-a)², cosθ=1時PF²_max=(a+c)²,∴PF_max=a+c,PF_min=a-c 反應在圖上正好為長軸的兩個頂點

    思考：到右焦點距離呢？

四、回顧總結

標準方程

圖象

范圍

對稱性

頂點

長軸、短軸

離心率

五、布置作業(yè)（A組題）課本第32頁感受理解1、3、4、5、8

   [補充習題]

1、(1)橢圓短軸的一個端點到一個焦點的距離為5，焦點到中心的距離為3，則橢圓的標準方程為__________________

(2)對稱軸為坐標軸的橢圓焦點F₁,F₂在x軸上，短軸的一個短點為B,△BF₁F₂周長為4+2，∠BF₁F₂=30⁰,則橢圓的方程為____________________

2、橢圓x²+ky²=1(0<k<1),k越接近___________時，橢圓越扁

3、我國發(fā)射的神州5號載人飛船運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距離地球表面m千米，遠地點距離地球表面n千米，地球的半徑為R,則該軌道的短軸長為_________

4、焦點在x軸上的橢圓與+=1有相同的離心率，則其方程的形式為__________

5、橢圓+=1的離心率為，則m=___________

6、已知橢圓對稱軸是坐標軸，O為原點，F為一個焦點，A為一個頂點，若橢圓的長軸為6，∠OFA=,求橢圓的方程

7、橢圓過點(3,0),離心率為，求橢圓的標準方程

8、求橢圓（a>b>0）上到點B(0,b)距離的最值

[解答] 1、（1）或；（2）;2、0;3、2

4、+=1;  5、3或; 6、或;7、或

8*、設P(x,y),當P與B重合時，PB取得最小值為0，另有

PB²=x²+(y-b)²=(1-)a²+y²-2by+b²=-y²-2by+a²+b²是y的二次函數，-b≤y≤b,不考慮定義域情況下函數的對稱軸為y=;若≤b，當 y=時PB²_max=;若>b，當 y=-b時PB²_max=4b²

總之，PB_min=0,PB_max=

§2.2.2橢圓的幾何性質(2)

教學目標：

教學重點、難點：離心率范圍的拼湊、左邊方法

教學過程：

一、復習引入

1、橢圓的性質復習

2、練習教材P32練習題4，5

二、數學運用

例1、設P是橢圓（a＞b＞0）不在長軸上的一點，F₁、F₂是橢圓的焦點，(1)什么情況下，P對F₁及F₂的張角最大,并求此時張角的余弦值；(2)若∠F₁PF₂=90°，求橢圓的率心率e的范圍

解：(1)設PF₁=m,PF₂=n,則m+n=2a,cos∠F₁PF₂===-1,而mn≤=a²，cos∠F₁PF₂≥-1，等號成立當且僅當m=n=a,即：P(0,±b)時，∠F₁PF₂最大，此時cos∠F₁PF₂=-1

(2)設短軸的一個頂點為B, ∠F₁BF₂≥90⁰，∠F₁BO≥45⁰，

 e≥，則離心率的范圍是≤e<1

    說明：以上方法的核心是拼湊定值，稱拼湊法

變形練習：如果∠F₁PF₂=120⁰，求e的范圍（≤e<1）

   例2、設P是橢圓（a＞b＞0）非長軸上的一點，A₁、A₂是橢圓長軸的兩個頂點，(1)什么情況下，P對A₁及A₂的張角最大,并求此時張角的正切值；(2)若∠A₁PA₂=120°，求橢圓的率心率e的范圍

   解：(1)設P(x,y),不妨設y>0, 則,設∠A₁PA₂=θ，則∠A₁+∠A₂=180⁰-θ,

tan(∠A₁+∠A₂)=-tanθ=，而tanA₁=,tanA₂=,代入tanθ=-，x²=a²(1-),tanθ===-是的增函數，當y=b時最大。同理當P為短軸頂點時，θ最大，此時tanθ=-

(2) ∠A₁BA₂≥120⁰, ∠A₁BO≥60⁰，≤e<1

說明：這一方法核心是通過坐標計算得出的，稱坐標法

練習：例題中若存在PA₁⊥PO，求離心率e的范圍（解答(,1)）

四、作業(yè)：P33----5,6,7,9,10

補充作業(yè)

1、過橢圓（a＞b＞0）的焦點且垂直于長軸的弦長為____________

2、線段AB是橢圓（a＞b＞0）的長軸，將AB五等份，過四個分點分別作AB的垂線交橢圓上半部于P₁,P₂,P₃,P₄四個點，F為橢圓的右焦點，則PF₁+PF₂+PF₃+PF₄=_____________

3、過點(x₀,y₀)的任意直線與橢圓（a＞b＞0）有公共點，則(x₀,y₀)應該滿足關系式________________

4、設P是橢圓（a＞b＞0）P對兩個焦點的張角為60⁰，求橢圓的率心率e的范圍

5、設P是橢圓（a＞b＞0）非短軸上的一點，B₁、B₂是橢圓短軸的兩個頂點，若∠B₁PB₂=60°，求橢圓的率心率e的范圍

[答案]1、;    2、4a;     3、;    4、≤e<1;  5、≤e<1

                        2.2.2直線與橢圓

[教學目的]

[教學難點、重點]最值求法與差分法（本節(jié)是一個課件）

[教學流程]

（d=,特別的兩平行線ax+by+C_i=0間距離為

2、如何判斷直線與圓的位置關系？弦長如何確定？圓上點到直線距離最值呢？

(通過方程組解的個數或圓心到直線的距離d來確定，弦長為2,最值通過數形結合為|r±d|)

提出問題：直線與橢圓關系如何？進入主題――直線與橢圓

二、要點內容

例1、求橢圓+=1上點到直線l:x-y+7=0距離的最值,并求出相應點的坐標

[分析思路一]與圓類似：將直線l平移，與橢圓相切時，切點到直線距離即為兩距離

解：[方法一]設與直線l平行的直線:y=x+c與橢圓+=1相切，代入橢圓方程得到：

25x²+32cx+16c²-144=0,△=(32c)²-4×25×(16c²-144)=0，解得c=±5，它們與直線l的距離即為橢圓上點到直線距離的最值，d_max==6,此時代入可以求得點P₂(,-),d_min==此時代入可以求得P₁(-,)

說明：這一方法的核心是數形結合，稱直線平移法

[分析思考二]能否通過直線上點的坐標直接求距離呢？

解：設P(4cosθ,3sinθ),它到直線l的距離d==

==，其中sinφ=,cosφ=

當sin(φ-θ)=1時，d_max==6,此時φ-θ=+2kπ，k∈Z,θ=--2kπ+φ，cosθ=sinφ=,sinθ=-cosφ=-，對應點P₂(,-)；同理當sin(φ-θ)=-1時，d_min==,此時φ-θ=-+2kπ，k∈Z,θ=-2kπ+φ，cosθ=-sinφ=-,sinθ=cosφ=，對應點P₁(-,)

   說明：這一方法中，θ稱參數，相應方法稱參數法。

   例2、已知橢圓+y²=1   (1)求過點P(, )且被P平分的弦的方程。(2)求斜率為2的平行弦的終點的軌跡方程

解：設弦的兩個端點為P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),則x₁²+2y₁²=2    x₂²+2y₂²=2兩式作差得到

(x₁-x₂)(x₁+x₂)-2(y₁-y₂)(y₁+y₂)=0,∵x₁≠x₂∴(x₁+x₂)+2 (y₁+y₂)=0

(1)由中點公式，x₁+x₂=1,y₁+y₂=1,而為直線的斜率k,∴1+2k=0,k=-,直線方程為y-=-(x-)即2x+4y-3=0,代入橢圓方程檢驗有△>0,∴弦的方程為2x+4y-3=0（在橢圓內x₁²+2y₁²<2）

說明：這一方法稱差分法或點差法，適用于中點――弦的有關問題，其步驟為：

S1:設弦的端點坐標，代入曲線方程，作差

S2:根據=k, x₁+x₂=x₀,y₁+y₂=x₀

S3:得出相應解，并檢驗，必要時加條件限制

(2)設中點為(x,y),則x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y,=2,從而2x+2×2×2y=0即x+4y=0(x₁²+2y₁²<2)

練習：求過點(2,1)引直線與該橢圓交于B、C兩點，求BC中點的軌跡方程（此時=，方程x²+2y²-2x-2y=0(x²+2y²<1)）

2、涉及中點――弦問題時常用差分法

四、作業(yè)

1、橢圓+=1上一點P到直線l:3x-2y-16=0距離最短的點的坐標是____________

2、點P(x,y)為曲線C:上任意一點，θ∈，則的范圍是__________

3、橢圓C:x²+2y²=4.(1)直線l:y=x+1被C截得的弦中點坐標為________________

(2)與l平行的直線被C截得的弦中點的軌跡方程為_____________

(3)過點(1,1)作C的弦，其中點的方程為______________________________________

4、在橢圓x²+8y²=8上求一點P,使P到直線l:x-y+4=0的距離最小，求出點P的坐標

[答案]

1、(-,)

2、

3、(1)(-,);   (2)x+2y=0(x²+2y²<4)     (3)x²+2y²-x-2y=0(x²+2y²<4)

4、(-,)