重慶八中高2009級高三(下)第二次月考
數(shù)學試題(理科)
第Ⅰ卷(選擇題,共50分)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù)的虛部為( )
A.1 B.i C.-1 D.-i
2.已知直線和平面
,則
的一個必要非充分條件是( )
A.且
B.
且
C.且
D.
與
所成角相等
3.已知,則
的值為( )
A.
B.
C.
D.
4.設(shè)變量滿足約束條件
,則
的最大值是( )
A.1 B.
C.
D.2
5.設(shè)兩個正態(tài)分布和
的密度函數(shù)圖象如圖所示,則有( )
A.
B.
C.
D.
6.設(shè)向量滿足
,
且
,若
,則
( )
A.2
B.
7.已知為R上的奇函數(shù),且
,若
,則
=( )
A.0
B.
C.-1
D.1
8.若直線l:與圓
沒有公共點,則過點
的直線與橢圓
的公共點個數(shù)為( )
A.至多一個 B.2個 C.1個 D.0個
9.二項式展開式中,所有有理項(不含
的項)的系數(shù)之和為( )
A.
B.
C.
D.
10.如果關(guān)于實數(shù)的方程
的所有解中,僅有一個正數(shù)解,那么實數(shù)
的取值范圍為( )
A.
B.
或
C.
D.
或
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中橫線上.
11.集合,則
.
12.若,則
.
13.若雙曲線,
上橫坐標為
的點到右焦點的距離小于它到左準線的距離,則雙曲線離心率
的取值范圍是
.
14.已知點A、B、C、D在同一球面上,AB平面
,
,若
,
,
,則B、C兩點間的球面距離是
.
15.設(shè)函數(shù),
表示不超過實數(shù)m的最大整數(shù),則函數(shù)
的值域是
.
三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本題滿分13分)
已知函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
.
(I)求的值;
(II)將函數(shù)的圖象向右平移
個單位后,得到函數(shù)
圖象,求
在區(qū)間
上的單調(diào)性.
17.(本題滿分13分)
某大學2009屆入學測試中,要求每位考生在10道題中隨機抽出2道題回答.
(I) 現(xiàn)在某位考生會答10道題中的6道,求這個考生答錯題目個數(shù)的分布列和數(shù)學期望;
(II)若答對其中一題即為及格,如果某位考生及格的概率小于,那么他最多會幾道題?
18.(本題滿分13分)
如圖,四棱錐-
中,底面
為矩形,側(cè)面
底面
,
,
,
.
(I)證明:;
(II)設(shè)
與平面
所成的角為
,求二面角
-
-
的大小.
19.(本題滿分12分)
設(shè)數(shù)列的首項
,其前n項和
滿足:
.
(I)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(II)記的公比為
,作數(shù)列
,使
,
,求和:
.
20.(本題滿分12分)
已知拋物線的焦點為F,準線為l.
(I)求拋物線上任意一點Q到定點的最近距離;
(II)過點F作一直線與拋物線相交于A、B兩點,并在準線上任取一點M,當M不在x軸上時,證明:
是一個定值,并求出這個值.
21.(本題滿分12分)
已知函數(shù)為常數(shù)
是實數(shù)集
上的奇函數(shù),函數(shù)
是區(qū)間
上的減函數(shù).
(I)求的值;
(II)若在
上恒成立,求
的取值范圍;
(III)討論關(guān)于的方程
的根的個數(shù).
一、選擇題
CDABA BCBAB
二、填空題
11. 12. -1 13.1<e<2 14.
15.{-1,0}
提示:8.利用點到直線的距離公式知,即
在圓
內(nèi),也在橢圓
內(nèi),所以過點
的直線與橢圓
總有兩個不同的交點.
9.可以轉(zhuǎn)化為求展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和,賦值
即可.
10.原問題有且僅有一個正實數(shù)解.令
,則
,令
,
,由
得
或
.又
時,
;
,
時,
.所以
.又
;
.結(jié)合三次函數(shù)圖像即可.
15. ,
,即
,當m為整數(shù)時,值為0,m為小數(shù)時,值為-1,故所求值域為{-1,0}
三、解答題
16. (1)…………………3分
由條件………………………………………6分
(2),令
,解得
,又
所以
在
上遞減,在
上遞增…………………………13分
17.(1)答錯題目的個數(shù)
∴分布列為:,期望
(道題)……7分
(2)設(shè)該考生會x道題,不會10-x道題,則…10分
解得:或
(舍),故該考生最多會3道題…………………………………13分
18.(1)作,垂足為
,連結(jié)
,由題設(shè)知,
底面
,
且為
中點,由
知,
,
從而,于是
,由三垂線定理知,
……………4分
(2)由題意,,所以
側(cè)面
,又
側(cè)面
,所以側(cè)面
側(cè)面
.作
,垂足為
,連接
,則
平面
.
故
為
與平面
所成的角,
…………………………………7分
由,得:
, 又
,
因而,所以
為等邊三角形.
作,垂足為
,連結(jié)
.
由(1)知,,又
,
故平面
,
,
是二面角
的平面角………………………………………………...10分
.
,
,
,
所以二面角為
或
……………………….13分
19.(1)由,得
,
…2分
又,
兩式相減,得:
,
綜上,數(shù)列為首項為1,公比為
的等比數(shù)列…………………………..…….6分
(2)由,得
,所以
是首項為1,,公差為
的等差數(shù)列,
……………………………….…………………………....9分
……………………….………………………....13分
20.(1)設(shè)點,則
所以,當x=p時,…………………………………………………….….4分
(2)由條件,設(shè)直線,代入
,得:
設(shè),則
,
…......................................................................................7分
….10分
又,所以
為定值2……………………………………………….12分
21. (1)是奇函數(shù),則
恒成立,
,
,故
…………………….2分
(2)在
上單調(diào)遞減,
,
,
只需
(
恒成立.
令,則
,而
恒成立,
.….…………………….7分
(3)由(1)知,
方程為
,
令,
,
,
當時,
,
在
上為增函數(shù);
當時,
,
在
上為減函數(shù);
當
時,
.而
,
函數(shù)、
在同一坐標系的大致圖象如圖所示,
當
即
時,方程無解;
當,即
時,方程有一個根;
當,
即
時,方程有兩個根.………………………………….12分
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