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專題三：數(shù) 列

【考點(diǎn)審視】

（本部分內(nèi)容是根據(jù)近幾年高考命題規(guī)律和趨勢(shì)透視本單元考查的重點(diǎn).）

本章內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)之一，它既具有相對(duì)的獨(dú)立性，又具有一定的綜合性和靈活性，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的銜接點(diǎn)，因而歷來(lái)是高考的重點(diǎn).

高考對(duì)本章考查比較全面,等差、等比數(shù)列，數(shù)列的極限的考查幾乎每年都不會(huì)遺漏.就近五年高考試卷平均計(jì)算，本章內(nèi)容在文史類中分?jǐn)?shù)占13％，理工類卷中分?jǐn)?shù)占11％，由此可以看出數(shù)列這一章的重要性.

本章在高考中常見(jiàn)的試題類型及命題趨勢(shì)：

（1）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見(jiàn)的題目，要切實(shí)注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在《考試說(shuō)明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)”，近幾年命題嚴(yán)格按照《考試說(shuō)明》，不要求較復(fù)雜由遞推公式求通項(xiàng)問(wèn)題，例如2004年全國(guó)卷一?（15）、（22）.

（2）探索性問(wèn)題在數(shù)列中考查較多，試題沒(méi)有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問(wèn)題對(duì)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力有較高的要求.

（3）等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，例如2004全國(guó)高考?浙江卷?（3）、（17）（文）、（22）均考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，還有2004年全國(guó)高考?上海卷?（4）、（12）均有提及.

（4）求和問(wèn)題也是常見(jiàn)的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和.

（5）將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從本章在高考中所在的分值來(lái)看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.例如2003年全國(guó)高考?新課程卷?解答題（19）主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及遞推關(guān)系；2004年全國(guó)高考?上海卷?

解答題（）主要考查了等差數(shù)列及證明.

通過(guò)上述分析，在學(xué)習(xí)中應(yīng)著眼于教材的基本知識(shí)和方法，不要盲目擴(kuò)大，應(yīng)著重做好以下幾方面：

（1）理解概念，熟練運(yùn)算

（2）巧用性質(zhì)，靈活自如

【疑難點(diǎn)拔】

（解釋重點(diǎn)、難點(diǎn)及知識(shí)體系，尤其是考試中學(xué)生常見(jiàn)錯(cuò)案分析.）

數(shù)列部分的復(fù)習(xí)分三個(gè)方面:①重視函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用。②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及可化為等差、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單問(wèn)題，同時(shí)要重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用。③要設(shè)計(jì)一些新穎題目，尤其是通過(guò)探索性題目，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神，數(shù)列綜合能力題涉及的問(wèn)題背景新穎，解法靈活，解這類題時(shí)，要教給學(xué)生科學(xué)合理的思維，全面靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)列部分重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列，而二者在內(nèi)容上是完全平行的，因此，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)將它們對(duì)比起來(lái)復(fù)習(xí)；由于數(shù)列方面的題目解法的靈活性和多樣性，在復(fù)習(xí)時(shí)，要啟發(fā)學(xué)生從多角度思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)；提倡一題多解，達(dá)到事半功倍的效果。

錯(cuò)案分析：

例1.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，，則等于__________.

[錯(cuò)解一], 或.

[錯(cuò)因]將等比數(shù)列中成等比數(shù)列,誤解為成等比數(shù)列.

[錯(cuò)解二]是等比數(shù)列,成等比數(shù)列其公比為,從而,得或,或,

或,或.

[錯(cuò)因]忽視了隱含條件.

[正解]由題設(shè)得: ① , ②,

② ①得或（舍去），.

例2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為非零常數(shù)），則數(shù)列為（）

（A）等差數(shù)列（B）等比數(shù)列

（C）既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列（D）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

[錯(cuò)解],，（常數(shù)），數(shù)列為等比數(shù)列.

[錯(cuò)因]忽略了中隱含條件.

[正解]當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

,為常數(shù),但,數(shù)列從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列,選C.

例3.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中,每分鐘分裂一次(一個(gè)分裂成二個(gè))經(jīng)過(guò)h這種細(xì)菌由一個(gè)可繁殖成_________個(gè).

[錯(cuò)解一]由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,

個(gè)

[錯(cuò)解二] 由題意每次分裂數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,公比為,共繁殖次,細(xì)菌由一個(gè)可繁殖成

[正解] 由題意知,每次分裂細(xì)菌數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,,公比,共分裂次,第次應(yīng)為,(個(gè))

例4.一個(gè)球從高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半,當(dāng)它第次著地時(shí),共經(jīng)過(guò)了多少米?

[錯(cuò)解]因球每次著地后跳回到原高度的一半,從而每次著地之間經(jīng)過(guò)的路程構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,.

[錯(cuò)因]每?jī)纱沃刂g經(jīng)過(guò)的路程應(yīng)為上、下路程之和;而第一次從落下時(shí)只有下的路程,應(yīng)單獨(dú)計(jì)算.

[正解].

例5.在等差數(shù)列中,已知,前項(xiàng)和為,且,求當(dāng)取何值時(shí), 有最大值,并求它的最大值.

[錯(cuò)解]設(shè)公差為,, ,得

,即,,當(dāng)時(shí), ,

,當(dāng)時(shí),有最大值.

[錯(cuò)因]僅解不等式是不正確的,應(yīng)解.

[正解]由,解得公差,

,,.

所以,當(dāng)或時(shí), 有最大值為.

[例6]一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來(lái)上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲(chǔ)蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子歲上大學(xué)時(shí)，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？

[錯(cuò)解]年利率保持不變，每年到期時(shí)的錢數(shù)形成一等比數(shù)列，那么年時(shí)取出的錢數(shù)應(yīng)為以為首項(xiàng)，公比為的第項(xiàng)，即

[錯(cuò)因]上述解法只考慮了孩子出生時(shí)存入的元，到年時(shí)的本息，而題目的要求是每年都要存入元。

[正解]不妨從每年存入的元到年時(shí)產(chǎn)生的本息入手考慮，出生時(shí)的元到年時(shí)變?yōu)?sub>，

歲生日時(shí)的元到歲時(shí)變?yōu)?sub>，……

歲時(shí)的元到歲時(shí)變?yōu)?sub>

從而知，如此存款到歲時(shí)取回的錢的總數(shù)應(yīng)為：

專題三：數(shù) 列

【經(jīng)典題例】

例1：已知下面各數(shù)列的前項(xiàng)的和為的公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（1）且；

（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和。

[思路分析]：

（1）當(dāng)時(shí)，，

用累乘法、迭代法可求得。

（2）當(dāng)時(shí)，，由于不適此式，所以。

[簡(jiǎn)要評(píng)述]：由求的唯一途徑是，注意分類思想在本題中的應(yīng)用以及累乘、迭代等方法的應(yīng)用。

例2：等差數(shù)列中，，，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。

[思路分析]：

方法一：利用等差數(shù)列的求和公式處理，由及得

，，依二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值是。

方法二：數(shù)形結(jié)合處理，由等差數(shù)列的求和公式可得，

的圖象是開(kāi)口向下的拋物線上的一群離散點(diǎn)，最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

即最大，易求得最大值為。

方法三：利用等差數(shù)列的性質(zhì)處理，由可得

，又，從而，，，故最大。

[簡(jiǎn)要評(píng)述]：數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此求最值問(wèn)題就是一個(gè)重要題型，又因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和一般是不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，因此，求最大值可用二次函數(shù)法求之，也可根據(jù)對(duì)稱軸來(lái)判斷，由于數(shù)列的特殊性還可以把通項(xiàng)公式寫出來(lái)，由或來(lái)解決，特別注意，用（）時(shí)，若解得，是正整數(shù)時(shí)，說(shuō)明中有為的項(xiàng)，因此前項(xiàng)和最大（最�。┯袃身�(xiàng)且它們相等。

例3：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）

（A）（B）（C）（D）

[思路分析]：

方法一：特殊值法，由原數(shù)列知，在選擇支中只有（D）滿足。

方法二：看通項(xiàng)，，。

[簡(jiǎn)要評(píng)述]：方法一對(duì)解答復(fù)雜的選擇題有簡(jiǎn)化計(jì)算的作用，方法二利用通項(xiàng)求，為求和的通法。

例4：某城市年末汽車保有量為萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過(guò)萬(wàn)量，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？