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將①代入②并化簡(jiǎn)得，，所以

于是

…………6分

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則

消去參數(shù)k得     ③

當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為………………8分

解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以

  ④               ⑤

④―⑤得，所以

當(dāng)時(shí)，有      ⑥

并且    ⑦   將⑦代入⑥并整理得     ⑧

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，－2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）

也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為

………………8分

（2）解：由點(diǎn)P的軌跡方程知所以

……10分

故當(dāng)，取得最小值，最小值為時(shí)，取得最大值，

最大值為……………………12分

注：若將代入的表達(dá)式求解，可參照上述標(biāo)準(zhǔn)給分.

（20）（I）解法一：因?yàn)橘r付價(jià)格為s元/噸，所以乙方的實(shí)際年利潤為：

w=2000                                                                                          ……2分

因?yàn)?i>w=2000，所以當(dāng)時(shí)，w取得最大值．

所以乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量噸                                       ……4分

解法二：因?yàn)橘r付價(jià)格為s元/噸，所以乙方的實(shí)際年利潤為：

w=2000．                                                                                      ……2分

由，令0

得 ．

當(dāng)t＜t₀時(shí)，＞0；當(dāng)t＞t₀時(shí)，＜0，所以t=t₀時(shí)，w取得最大值．

因此乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量（噸）．                            ……4分

（II）設(shè)甲方凈收入為u元，則

u=st－0.002t²．                                                                                        ……6分

將代入上式，得甲方凈收u與賠付價(jià)格s之間的函數(shù)關(guān)系式

                                                                                 ……8分

又，

令=0，得s=20．

當(dāng)s＜20時(shí)，＞0；當(dāng)s＞20時(shí)，＜0，所以s=20時(shí)，u取得最大值．

因此甲方向乙向要求賠付價(jià)格s=20(元/噸)時(shí)，獲最大凈收入．                 ……12分

注：若將代入u的表達(dá)式求解，可參照上述標(biāo)準(zhǔn)給分．

（21）本小題主要考查函數(shù)和不等式的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析和解決問題的能力. 滿分14分.

（1）解：由于的最大值不大于所以

             ①   ………………3分

又所以.  ②

由①②得………………6分

（2）證法一：（i）當(dāng)n=1時(shí)，，不等式成立；

因時(shí)不等式也成立.

（ii）假設(shè)時(shí)，不等式成立，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/0b9f8cfbed50b52836de70a0a153a9a6.zip/55806/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr5\0b9f8cfbed50b52836de70a0a153a9a6.zip\55806\2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）.files\image342.png" >的

對(duì)稱軸為知為增函數(shù)，所以由得

………………8分

于是有

                                                             …………12分

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

根據(jù)（i）（ii）可知，對(duì)任何，不等式成立.…………14分

證法二：（i）當(dāng)n=1時(shí)，，不等式成立；

（ii）假設(shè)時(shí)不等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

………………8分

因所以

……12分

于是   因此當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

根據(jù)（i）（ii）可知，對(duì)任何，不等式成立.…………14分

證法三：（i）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；

（ii）假設(shè)時(shí).

若則  ①…………8分

若≤a_k＜，則

0＜a_k＋1=＜．

＜                                                                                ②……12分

由①②知當(dāng)n=k＋1時(shí)，不等式0＜a_n＜也成立．

根據(jù)（I）（II）可知，對(duì)任何n∈N*，不等式a_n＜成立． ……14分

（22）（I）解：由y=f(x)=ln(e^x＋a)得x=ln(e^y－a)，所以

y=f^－1(x)=ln(e^x－a)（x＞lna）．                                                                   ……3分

(II)解法一：由＜0得

＜m＜

即對(duì)于x∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有

＜e^m＜                         ①

設(shè)t= e^x，u(t)=，u (t)=，于是不等式①化為

u(t)＜e^m＜u (t)  t∈[3a，4a]                        ②                       ……7分

當(dāng)t₁＜t₂，t₁、t₂∈[3a，4a]時(shí)，

u(t₂)－u(t₁)=＞0

所以都是增函數(shù).

因此當(dāng)時(shí)，的最大值為的最小值為

而不等式②成立當(dāng)且僅當(dāng)即

，于是得 ………………12分

解法二：由得

設(shè)

于是原不等式對(duì)于恒成立等價(jià)于 ③…7分

由，注意到

故有，從而可均在

上單調(diào)遞增，因此不等式③成立當(dāng)且僅當(dāng)

即 ………………12分