Question

【題目】定義：平面內(nèi)兩個(gè)分別以原點(diǎn)和兩坐標(biāo)軸為對稱中心和對稱軸的橢圓E1，E2，它們的長短半軸長分別為a1，b1和a2，b2，若滿足a2=a1k，b2=b1k（k∈Z，k≥2），則稱E2為E1的k級(jí)相似橢圓，己知橢圓E1: =1，E2為E1的2級(jí)相似橢圓，且焦點(diǎn)共軸，E1與E2的離心率之比為2：．

（Ⅰ）求E2的方程；

（Ⅱ）已知P為E2上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作E1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)．

①證明：E1在A(x1，y1)處的切線方程為=1；

②是否存在一定點(diǎn)到直線AB的距離為定值，若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①見解析；②存在一定點(diǎn)到直線的距離為定值1．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)相似橢圓的概念，可得，，，然后根據(jù)，并結(jié)合離心率，簡單計(jì)算，可得結(jié)果.

（Ⅱ）①聯(lián)立方程，可得關(guān)于的一元二次方程，然后使用，并根據(jù)，可得結(jié)果.

②根據(jù)①的結(jié)論，可得在點(diǎn)的切線方程，根據(jù)，可得直線的方程，假設(shè)定點(diǎn)，使用點(diǎn)到線的距離公式，根據(jù)式子為定值，可得結(jié)果.

（Ⅰ）由題意知，，，

則，，

而，解得，，

故橢圓，橢圓．

（Ⅱ）①聯(lián)立橢圓與直線方程，

，

點(diǎn)在橢圓上，有，

所以，

即直線與橢圓相切．

所以過點(diǎn)的切線方程為．

②由①知，過點(diǎn)的切線方程為，

設(shè)，則，即，

兩條切線都經(jīng)過點(diǎn)，則滿足方程組．

那么點(diǎn)和點(diǎn)都在直線上，

則直線的方程為，即

假設(shè)存在一定點(diǎn)到直線的距離為定值，

即為定值，

則，，

故存在一定點(diǎn)到直線的距離為定值1．