Question

【題目】已知定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，滿足，則下列敘述正確的為（ ）

①存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

②當(dāng)時(shí)，恒有

③若當(dāng)時(shí)，的最小值為1，則

④若關(guān)于的方程和的所有實(shí)數(shù)根之和為零，則

A.①②③B.①③C.②④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

對于①，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在第一象限有3個(gè)零點(diǎn)，關(guān)于x的方程有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以①正確；

對于②，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以②不正確；

對于③，令所以，則，所以③正確；

對于④，通過數(shù)形結(jié)合分析得到其是錯(cuò)誤的.

對于①，函數(shù)的圖象如圖所示，由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以只要考查的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

由于，所以只要考慮的零點(diǎn)有3個(gè)即可.

由題得，所以直線的斜率為，此時(shí)直線與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在第一象限有3個(gè)零點(diǎn)，關(guān)于x的方程有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以①正確；

對于②，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以不成立，所以②不正確；

對于③，令所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，則，所以③正確；

對于④，由于函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于的方程和的所有實(shí)數(shù)根之和為零，

當(dāng)時(shí)，有三個(gè)實(shí)根，，

則，

所以的所有實(shí)數(shù)根之和為.

令所以錯(cuò)誤.

故選：B.