Question

【題目】已知三棱柱的側(cè)棱和底面垂直，且所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，側(cè)面的面積為.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若的中點(diǎn)為E，則平面；

②若三棱柱的體積為，則到平面的距離為3；

③若，，則球O的表面積為；

④若，則球O體積的最小值為.

當(dāng)則所有正確結(jié)論的序號是（ ）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①,證明，平面即得證，所以該命題正確；

②，求出到平面的距離為2，所以該命題錯(cuò)誤；

③，求出，即可判斷該命題正確；

④，求出外接球的半徑的最小值為2，即得球O體積的最小值為，所以該命題正確.

①，如圖，連接,交于點(diǎn),連接.因?yàn)?/span>，所以,因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，所以該命題正確；

②，連接,過作,垂足為,因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，所以平面，所以到平面的距離就是.由題得,所以，所以到平面的距離為2.所以該命題不正確；

③，如圖，取中點(diǎn)，連接,則的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,連接.設(shè)，球的半徑為,則所以.由題得，所以.所以，所以球O的表面積為,所以該命題正確；

④，設(shè)，球的半徑為,設(shè)上底面和下底面的中心分別為,連接,則其中點(diǎn)為,連接.由題得所以,即，又，所以，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以最小值為2，所以球O體積的最小值為，所以該命題正確.

故選：D.