Question

【題目】在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將菱形沿對(duì)角線折起，使二面角的大小為，則所得三棱錐的外接球表面積為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由已知可得、都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，由菱形的對(duì)角線互相垂直，可得為二面角的平面角，即，作出圖形，找出三棱錐的外接球球心，利用四點(diǎn)共圓結(jié)合正弦定理求解三棱錐的外接球的半徑，代入球的表面積公式可得結(jié)果.

由于四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，且，則，

所以，、都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

由于菱形的對(duì)角線互相垂直，則，，

所以，為二面角的平面角，即，

過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，則點(diǎn)在線段上，

由，，可得，

且是等邊三角形，所以，，

設(shè)的外心為點(diǎn)，的中點(diǎn)，

在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)、分別作平面、的垂線交于點(diǎn)，

則點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則，，

，則，

由于、、、四點(diǎn)共圓，可得，

所以，三棱錐的外接球的表面積為.

故選：B.