Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且，右準(zhǔn)線的方程為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，交于點(diǎn).若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1);(2)或.

【解析】

(1)由右準(zhǔn)線的方程為以及可列出方程組解得即可求出橢圓的方程.

(2) 設(shè)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,求出;聯(lián)立可得,由可知,從而可求出,進(jìn)而可求直線的方程.

解:(1)設(shè)橢圓的焦距為.由題意得,解得.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.

(2)由題意得直線不垂直于軸,設(shè)的方程為

聯(lián)立,消得.

又直線過(guò)點(diǎn),則方程必有一根為2,則.

代入直線,得點(diǎn).聯(lián)立,所以.

又以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),所以.

則,解得,所以.

所以直線的方程為或.