Question

【題目】某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的歷史收益率（收益率=利潤(rùn)÷保費(fèi)收入）的頻率分布直方圖如圖所示：

（Ⅰ）試估計(jì)平均收益率；

（Ⅱ）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每份保單的保費(fèi)在20元的基礎(chǔ)上每增加元，對(duì)應(yīng)的銷量（萬份）與（元）有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系，從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組與的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

據(jù)此計(jì)算出的回歸方程為.

（i）求參數(shù)的估計(jì)值；

（ii）若把回歸方程當(dāng)作與的線性關(guān)系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估計(jì)此產(chǎn)品的收益率，每份保單的保費(fèi)定為多少元時(shí)此產(chǎn)品可獲得最大收益，并求出該最大收益.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）,（ii）見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形面積等于對(duì)應(yīng)區(qū)間概率求概率,再根據(jù)組中值與對(duì)應(yīng)區(qū)間概率乘積的和為平均數(shù)可得平均收益率,（2）（i）根據(jù)回歸方程過點(diǎn) ,先根據(jù)數(shù)據(jù)求平均值,再代入回歸方程求參數(shù)的估計(jì)值；（ii）先根據(jù)收入等于銷量與每份保單的保費(fèi)乘積得一個(gè)一元二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸確定函數(shù)最值.

試題解析：（Ⅰ）區(qū)間中值依次為：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，

取值概率依次為：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，

平均收益率為

.

（Ⅱ）（i）

所以

（ii）設(shè)每份保單的保費(fèi)為元，則銷量為，則保費(fèi)收入為

萬元，

當(dāng)元時(shí)，保費(fèi)收入最大為360萬元，

保險(xiǎn)公司預(yù)計(jì)獲利為萬元.