Question

【題目】已知拋物線(xiàn)E：過(guò)點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)E上一點(diǎn)作兩直線(xiàn)PM，PN與圓C：相切，且分別交拋物線(xiàn)E于M、N兩點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)E的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；

（2）若直線(xiàn)MN的斜率為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)E的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為；（2）或

【解析】

（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程，可求出拋物線(xiàn)E的方程，進(jìn)而可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程；

（2）設(shè)，，可表示出直線(xiàn)及的斜率的表達(dá)式，進(jìn)而可表示出兩直線(xiàn)的方程，再結(jié)合直線(xiàn)和圓相切，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于半徑，可得，滿(mǎn)足方程，從而得到，又直線(xiàn)MN的斜率為，可求出的值，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程得，，所以?huà)佄锞�(xiàn)E的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：．

（2）由題意知，，設(shè)，，

則直線(xiàn)的斜率為，同理，直線(xiàn)PN的斜率為，

直線(xiàn)MN的斜率為，故，

于是直線(xiàn)的方程為，即，

由直線(xiàn)和圓相切，得，

即，

同理，直線(xiàn)PN的方程為，

可得，

故，是方程的兩根．

故，即，

所以，解得或．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．