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【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，O為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)F，連接，易得，，由線面垂直判定定理可得平面，進(jìn)而，再將與線面垂直判定定理相結(jié)合即可得結(jié)果.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可求出平面的一個(gè)法向量，取平面的一個(gè)法向量，根據(jù)圖象結(jié)合即可得結(jié)果.

（1）證明：取的中點(diǎn)F，連接.

因?yàn)?/span>，F為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>O為中點(diǎn)，F為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面.

又平面，所以.

因?yàn)?/span>，O為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面.

（2）解：以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，平行的直線為y軸，所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵，

∴，∴，

則，，，，，

因?yàn)?/span>，所以，

故，.

設(shè)平面的法向量，則

不妨取，則

平面的一個(gè)法向量，記二面角的大小為，

由圖可知為銳角，則.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一個(gè)盒子中有5只同型號(hào)的燈泡，其中有3只一等品，2只二等品，現(xiàn)在從中依次取出2只，設(shè)每只燈泡被取到的可能性都相同，請(qǐng)用“列舉法”解答下列問(wèn)題：

（Ⅰ）求第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品的概率；

（Ⅱ）求至少有一次取到二等品的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為,拋物線的焦點(diǎn)是,是拋物線上的點(diǎn),H為直線上任一點(diǎn),A,B分別為橢圓C的上下頂點(diǎn),且A,B,H三點(diǎn)的連線可以構(gòu)成三角形.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)直線HA,HB與橢圓C的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E,求證:直線DE過(guò)定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，且滿足的點(diǎn)只有兩個(gè).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得的角平分線是軸？若存在求出，若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】自貢農(nóng)科所實(shí)地考察，研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植，兩種藥材，可以通過(guò)種植這兩種藥材脫貧.通過(guò)大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：藥材的畝產(chǎn)量約為300公斤，其收購(gòu)價(jià)格處于上漲趨勢(shì)，最近五年的價(jià)格如下表：

編號(hào)

1

2

3

4

5

年份

2015

2016

2017

2018

2019

單價(jià)（元/公斤）

18

20

23

25

29

藥材的收購(gòu)價(jià)格始終為20元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：

（1）若藥材的單價(jià)（單位：元/公斤）與年份編號(hào)具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)2020年藥材的單價(jià)；

（2）用上述頻率分布直方圖估計(jì)藥材的平均畝產(chǎn)量，若不考慮其他因素，試判斷2020年該村應(yīng)種植藥材還是藥材？并說(shuō)明理由.

參考公式：，（回歸方程中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1=2，AB=1，E為AD中點(diǎn)，F為CC1中點(diǎn).

（1）求證：AD⊥D1F；

（2）求證：CE//平面AD1F；

（3）求AA1與平面AD1F成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物），為了探究車流量與的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時(shí)間段車流量與濃度的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間

周一

周二

周三

周四

周五

車流量（萬(wàn)輛）

50

51

54

57

58

的濃度（微克/立方米）

39

40

42

44

45

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出這五組數(shù)據(jù)組成的散點(diǎn)圖的樣本中心坐標(biāo)；

（2）用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

（3）若周六同一時(shí)間段車流量是100萬(wàn)輛，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程預(yù)測(cè)，此時(shí)的濃度是多少？

（參考公式：，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，橢圓離心率為，、是橢圓C的短軸端點(diǎn)，且到焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)M不與、重合，點(diǎn)N滿足．

（1）求橢圓C的方程；

（2）求四邊形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：

異面直線與間的距離為定值；

三棱錐的體積為定值；

異面直線與直線所成的角為定值；

二面角的大小為定值．

其中真命題有( )

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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