Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)，，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，為切線(xiàn)上的點(diǎn)，且軸，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

1由已知得焦點(diǎn)，所以，從而求出拋物線(xiàn)C的方程；
2設(shè)，，，設(shè)直線(xiàn)l方程為：，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用求得，所以直線(xiàn)l的方程為：，由，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，所以設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，設(shè)直線(xiàn)l方程為：，利用韋達(dá)定理代入，利用基本不等式即可求出面積的最小值．

（1）由已知得焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

拋物線(xiàn)的方程為：；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，設(shè)，，，

聯(lián)立方程，消去得：，

，，，

設(shè)直線(xiàn)方程為：，

聯(lián)立方程，消去得：，

由相切得：，，

又，，

，

，

直線(xiàn)的方程為：，

由，得，，

將代入直線(xiàn)方程，解得，

所以

，

又，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，

所以面積的最小值為.