Question

【題目】如圖，二次函數的圖象經過原點和，與軸交于另一點，且對稱軸是．

（1）求二次函數的表達式；

（2）若是上的一點，作，交于點，當的面積最大時，求點的坐標；

（3）是軸上的點，過作軸，與拋物線交于點，過作軸于，是否存在點，使以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為；（3）點的坐標為，，或．

【解析】

（1）設拋物線的解析式為，將原點和代入；列出方程組即可解答；
（2）求出點的坐標為，設M，根據，得

，列出相似比得到，再由，得到關于m的二次函數關系式，利用二次函數的性質即可解答；
（3）設點的坐標為，則點的坐標為，分兩種情況進行討論，①當時，②當時，分別列出相似比，得到關于n的方程即可求出點P的坐標．

解：（1）設拋物線的解析式為，將原點和代入得：

解得

所以

（2）由，得，

∴點的坐標為，設點的坐標為，點的縱坐標為

由，得

∴

∴

∴

∴當時，最大

所以點的坐標為

（3）設點的坐標為，則點的坐標為

①當時，則

∴

∴

解這個方程，得，（不合題意，舍去），

∴點的坐標為或

②當時，

∴

∴

解這個方程，得，（不合題意，舍去），

∴點的坐標系為或

綜上所述，點的坐標為，，或．