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題目列表(包括答案和解析)

（Ⅰ）求證：
C
m
n
=
n
m
C
m-1
n-1
；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構(gòu)造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
(1+x)[1-(1+x)n]
1-(1+x)
=
(1+x)n+1-(1+x)
x
；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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（）某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1：2：1，用分層抽樣方法（每個分廠的產(chǎn)品為一層）從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共取100件作使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h，1020h，1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為                h.

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（）（本小題滿分12分）

 在某次普通話測試中，為測試漢字發(fā)音水平，設(shè)置了10張卡片，每張卡片印有一個漢字的拼音，其中恰有3張卡片上的拼音帶有后鼻音“g”.

（Ⅰ）現(xiàn)對三位被測試者先后進行測試，第一位被測試者從這10張卡片總隨機抽取1張，測試后放回，余下2位的測試，也按同樣的方法進行。求這三位被測試者抽取的卡片上，拼音都帶有后鼻音“g”的概率。

（Ⅱ）若某位被測試者從10張卡片中一次隨機抽取3張，求這三張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的卡片不少于2張的概率。

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（）對于四面體ABCD，下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號）。

1相對棱AB與CD所在的直線是異面直線；

2由頂點A作四面體的高，其垂足是BCD的三條高線的交點；

3若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合；

4任何三個面的面積之和都大于第四個面的面積；

5分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點。

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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構(gòu)造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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一、選擇題

AACCD   BBDDD   AC

二、填空題

13．    14．6    15．①⑤    16．

三、解答題

17．解：（Ⅰ）因為，

由正弦定理，得，              ……3分

整理，得

因為、、是的三內(nèi)角，所以，    

因此  ．                                                 ……6分

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20090520
由余弦定理，得，所以，      ……10分
解方程組，得 ．                      
……12分
18．解：記 “過第一關(guān)”為事件A,“第一關(guān)第一次過關(guān)”為事件A1，“第一關(guān)第二次過關(guān)”為事件A2；“過第二關(guān)”為事件B, “第二關(guān)第一次過關(guān)”為事件B1，“第二關(guān)第二次過關(guān)”為事件B2； 
（Ⅰ）該同學獲得900元獎金，即該同學順利通過第一關(guān)，但未通過第二關(guān)，則所求概率為
．          
   ……………………………３分
（Ⅱ）該同學通過第一關(guān)的概率為：
， ……………………5分
該同學通過第一、二關(guān)的概率為：
         

，   ………………………７分
 ∴ 在該同學已順利通過第一關(guān)的條件下，他獲3600元獎金的概率是
．     ………………………………………………………8分
（Ⅲ）該同學獲得獎金額可能取值為：0 元，900 元， 3600 元．………9分
 ，  ……………………………10分     
，  
，         

（另解：＝1－－＝ ）
       ∴　 ． ……12分
19．（本題滿分12分）
解: （Ⅰ）當為中點時,有∥平面．…１分 
證明:連結(jié)連結(jié)，
∵四邊形是矩形  ∴為中點
∵∥平面，
且平面,平面
∴∥，------------------４分
∴為的中點．------------------５分
（Ⅱ）建立空間直角坐標系如圖所示,
則,,,
, ------------7分
所以
設(shè)為平面的法向量,
則有,
即
令,可得平面的一個
法向量為,　　　　　　　　　　　　　　----------------9分
而平面的法向量為，    ---------------------------10分
所以，
所以二面角的余弦值為----------------------------12分
學科網(wǎng)(Zxxk.Com)20．（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，
則由題意知．
∴
∴．
∴橢圓C的方程為      ……………………4分
（Ⅱ）假設(shè)右焦點可以為的垂心，
，∴直線的斜率為，
從而直線的斜率為1．設(shè)其方程為， …………………………………５分
聯(lián)立方程組，
整理可得：　  ……………6分．
       ，∴
設(shè)，則，
．……………7分
       于是 
       
解之得或．   
……………10分
當時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意；
當時，經(jīng)檢驗知和橢圓相交，符合題意．
所以，當且僅當直線的方程為時, 
點是的垂心．…………12分   
21．解：（Ⅰ）的導數(shù)
令，解得；令，
解得．………………………2分
從而在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．
所以，當時，取得最小值．……………………………5分
（II）因為不等式的解集為P，且，
所以，對任意的，不等式恒成立，……………………………6分
由，得
當時，上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況�！�7分
將變形為  ………………………………………………8分
令，則
       令，解得；令，
解得．…………………………10分
       從而在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．
所以，當時，
取得最小值，從而，
所求實數(shù)的取值范圍是．………………12分
22．解：（Ⅰ）當時，　　　　
∴
　�。á颍┰�中，
　　在中，，
當時，中第項是，
而中的第項是，
所以中第項與中的第項相等．
當時，中第項是，
而中的第項是，
所以中第項與中的第項相等．
　　∴　．
（Ⅲ）
　  
+
．
當且僅當或，等號成立．
∴當或時，最�。�
 
		

	
	


	







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