題目列表(包括答案和解析)
如下圖，在△ABC中，∠C＝90度，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝8，BD＝5，則點D到AB的距離為___________。
劉衛(wèi)同學在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝6 cm；圖②中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4 cm．圖③是劉衛(wèi)同學所做的一個實驗：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上(移動開始時點D與點A重合)．
(1)在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸________．
(填“不變”、“變大”或“變小”)
(2)劉衛(wèi)同學經(jīng)過進一步地研究，編制了如下問題：
問題①：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行？
問題②：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？
問題③：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD＝15°？如果存在，
求出AD的長度；如果不存在，請說明理由．
請你分別完成上述三個問題的解答過程．
我們知道：將一條線段AB分割成大小兩條線段AC、CB，若小線段CB與大線段AC的長度之比等于大線段AC與線段AB的長度之比，即
這種分割稱為黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．
(1)類似地我們可以定義，頂角為36°的等腰三角形叫黃金三角形，其底與腰之比為黃金數(shù)，底角平分線與腰的交點為腰的黃金分割點．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的角平分線CD交腰AB于點D，請你說明D為腰AB的黃金分割點的理由．
(2)若腰和上底相等，對角線和下底相等的等腰梯形叫作黃金梯形，其對角線的交點為對角線的黃金分割點．如圖，AD∥BC，AB＝AD＝DC，AC＝BD＝BC，試說明O為AC的黃金分割點．
(3)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的對邊分別為a、b、c．若D是AB的黃金分割點，那么a、b、c之間的數(shù)量關系是什么？并證明你的結(jié)論．
下圖①是邊長分別為4
和3的兩個等邊三角形紙片ABC和
疊放在一起(C與
重合)．
(1)操作：固定△ABC，將△
繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于點F(如圖②)．
探究：在圖②中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？試證明你的結(jié)論．
(2)操作：將圖②中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，CF為∠ACB的平分線，平移后的△CDE設為△PQR(如圖③)．
探究：設△PQR移動的時間為xs，△PQR與△AFC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍．
(3)操作：將圖①中△
固定，將△ABC移動，使頂點C落在
的中點，邊BC交
于點M，邊AC交
于點N，設∠AC
＝α(30°＜α＜90°)(如圖④)．
探究：在圖④中，線段N·
M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請求出N·M的值；如果有變化，請說明理由．
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