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解：（1）如圖，與互相垂直平分．          （1分）

證明如下：連結(jié)、，

∵ //，

∴四邊形是平行四邊形．          （2分）

⊥，

∴⊥，

∵∠=90º，為的中點(diǎn)，

∴，                                          （2分）

∴四邊形是菱形．                                        （1分）

∴與互相垂直平分．

解：（2）設(shè)，則，．         （2分）

在Rt△中，∵，                           （1分）

∴．                                         （1分）

                         （1分）

∴．                                                 （2分）

解：（1）△AFB∽△FEC. 

證明：由題意得：∠AFE=∠D=90° 又∠B=∠C=90°

 ∴∠BAF+∠AFB=90° , ∠EFC+∠AFB=90°

∴∠BAF=∠EFC     ∴    AFB∽△FEC

（2）設(shè)EC=3x,FC=4x，則有DE=EF=5x ，∴AB=CD=3x+ 5x=8x

由△AFB∽△FEC得：     即： =  ∴BF=6x   ∴BC=BF－CF=6x+ 4x= 10x

∴在Rt△ADE中，AD=BC=10x，AE=，則有

解得（舍去）   ∴AB+BC+CD+DA=36x=36(cm)    答：矩形ABCD的周長(zhǎng)為36cm.