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同學(xué)們知道：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角．因?yàn)橐粭l弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，而圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)，所以圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半．類似地，我們定義：頂點(diǎn)在圓外，并且兩邊和圓相交的角叫圓外角．如下圖，∠DPB是圓外角，那么∠DPB的度數(shù)與它所夾的兩段弧和的度數(shù)有什么關(guān)系?

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存過點(diǎn)（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得

第二問若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．解得。

解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得，故橢圓的方程為．……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．

又，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912284792138316/SYS201207091229220620471975_ST.files/image009.png">，即，

所以．

即．

所以，解得．

因?yàn)锳,B為不同的兩點(diǎn)，所以k=1/2．

于是存在直線L₁滿足條件，其方程為y=1/2x

 

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

第一問中，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

第二問中，

假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 (Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得……②  ……………………9分

則．

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得．

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

某市的老城區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，老城區(qū)改造規(guī)劃建筑用地區(qū)域可近似為半徑是R的圓面．該圓的內(nèi)接四邊形ABCD是原老城區(qū)建筑用地，測量可知邊界AB＝AD＝4萬米，BC＝6萬米，CD＝2萬米．

（I）請計(jì)算原老城區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；

（II）因地理?xiàng)l件的限制，邊界AD、CD不能變更，而邊界AB、BC可以調(diào)整．為了提高老城區(qū)改造建筑用地的利用率，請?jiān)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052512235512504250/SYS201205251225507187633651_ST.files/image001.png">上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P，使得老城區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求出其最大值．

 

 

 

某市的老城區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，老城區(qū)改造規(guī)劃建筑用地區(qū)域可近似為半徑是R的圓面．該圓的內(nèi)接四邊形ABCD是原老城區(qū)建筑用地，測量可知邊界AB＝AD＝4萬米，BC＝6萬米，CD＝2萬米．

（I）請計(jì)算原老城區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；

（II）因地理?xiàng)l件的限制，邊界AD、CD不能變更，而邊界AB、BC可以調(diào)整．為了提高老城區(qū)改造建筑用地的利用率，請?jiān)?sub>上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P，使得老城區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求出其最大值．