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題目列表(包括答案和解析)

（）（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是地面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點。   

（Ⅰ）求證：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。

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如下圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。

（1）BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由；

（2）若BC邊上存在唯一的點Q使得PQ⊥QD，指出點Q的位置，并求出此時AD與平面

PDQ所成的角的正弦值；

（3）在（2）的條件下，求二面角Q―PD―A的正弦值。

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（2013•房山區(qū)一模）在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=
12
AD=1，PA=PD，E，F(xiàn)為AD，PC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若PC與AB所成角為45°，求PE的長；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

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（本題滿分12分）

在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=，AC=CB=1，D1是線段A1B1上一動點（可以與A1或B1重合）。過D1和CC1的平面與AB交于D。

(1）若四邊形CDD1C1總是矩形，求證：三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱；

(2)在（1）的條件下，求二面角B-AD1-C的取值范圍。

   

 

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在正四棱錐S—ABCD中，E是BC的中點，P點在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運動，并且總是保持PE⊥AC.

（1）指出動點P的軌跡（即說明動點P在滿足給定的條件下運動時所形成的圖形），證明你的結(jié)論;

（2）以軌跡上的動點P為頂點的三棱錐P－CDE的最大體積是正四棱錐S—ABCD體積的幾分之幾？

（3）設(shè)動點P在G點的位置時三棱錐P－CDE的體積取最大值V1，二面角G—DE—C的大小為α，二面角G—CE—D的大小為β，求tanα∶tanβ的值；

（4）若將“E是BC的中點”改為“E是BC上異于B、C的一定點”，其他條件不變，請指出點P的軌跡，證明你的結(jié)論.

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一、選擇題  1--5 DDCBA  6--10 ADBCA  11-12 AB

二、填空題   13．     14．12   15．   16．AC          

三、解答題

17.解：（Ⅰ） ，

，

．   ，

，  ．

（Ⅱ）由余弦定理，得　．

，  ．

所以的最小值為，當且僅當時取等號．

18、（Ⅰ）解法一：依據(jù)題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區(qū)的概率相等，則將“隊伍從水路或陸路抵達災區(qū)”視為同一個事件. 記“隊伍從水路或陸路抵達災區(qū)”為事件C，且B、C相互獨立，而且．……………………………………  2分

在5月13日恰有1支隊伍抵達災區(qū)的概率是

. ………………   5分

解法二：在5月13日恰有1支隊伍抵達災區(qū)的概率是

　　　　　 .………………………………………………………………  5分

（Ⅱ）依據(jù)題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區(qū)的概率相等，則將“隊伍從水路或陸路抵達災區(qū)”視為同一個事件. 記“隊伍從水路或陸路抵達災區(qū)”為事件C，且B、C相互獨立，而且.

設(shè)5月13日抵達災區(qū)的隊伍數(shù)為，則=0、1、2、3、4. ………………  6分

由已知有：；…………………………………  7分

；…………………………  8分

；…………………  9分

；……………………… 10分

. …………………………………………………  10分

因此其概率分布為：

 

0

1

2

3

4

P

                                                        ………………  11分

所以在5月13日抵達災區(qū)的隊伍數(shù)的數(shù)學期望為：

=0×+ 1× + 2× + 3×+ 4×=.

答：在5月13日抵達災區(qū)的隊伍數(shù)的數(shù)學期望=. ………………  12分

19.（I）由已知a2－a１=－2, a3－a2=－1, －1－（－2）=1 ∴an+1－an=（a2－a1）+（n－1）?1=n－3 

n≥2時，an=（ an－an－1）+（ an－1－an－2）+…+（ a3－a2）+（ a2－a1）+ a1

          =（n－4）+（n－5） +…+（－1）+（－2）+6 =

n=1也合適.  ∴an=  （n∈N*） ……………………3分

又b1－2=4、b2－2=2 .而  ∴bn－2=（b1－2）?（）n－1即bn=2+8?（）n

∴數(shù)列{an}、{bn}的通項公式為：an= ，bn=2+（）n－3……………  6分

（II）設(shè)

當k≥4時為k的增函數(shù)，－8?（）k也為k的增函數(shù)，……………  8分

學科網(wǎng)(Zxxk.Com)而f（4）= ∴當k≥4時ak－bk≥………………10分

又f（1）=f（2）=f（3）=0   ∴不存在k， 使f（k）∈（0，）…………12分

20、證（Ⅰ）因為側(cè)面，故

 在中，   由余弦定理有

學科網(wǎng)(Zxxk.Com)  故有 

  而     且平面

      ………………  4分

（Ⅱ）由

從而  且 故

 不妨設(shè)  ，則，則

又  則

在中有   從而（舍去）

故為的中點時，………………  8分

 法二：以為原點為軸，設(shè)，則

  由得   

 即  

化簡整理得       或

當時與重合不滿足題意

當時為的中點

故為的中點使………………  8分

 （Ⅲ）取的中點，的中點，的中點，的中點

 連則，連則，連則

 連則，且為矩形，

又   故為所求二面角的平面角………………  10分

學科網(wǎng)(Zxxk.Com)在中，

………………  12分

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角………………  10分

因為  

故 ………………  12分

21.解：（I）由，  ∴直線l的斜率為，

故l的方程為，∴點A坐標為（1，0）……… 2分

設(shè)    則，

由得

整理，得……………………4分

∴動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓 …… 5分

（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設(shè)l方程為y=k（x－2）（k≠0）①

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    • 
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    高考資源網(wǎng)
    ，
    由△>0得0<k2<.  ………………  6分
     
    設(shè)E（x1，y1），F（x2，y2）,則 ②……………………………7分
    令， 
    由此可得………………  8分
    由②知
    學科網(wǎng)(Zxxk.Com)
     
     
     
     
     
     
     
     
    .
    ∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）.…………12分
    22解：（1）由題意知，的定義域為，
       …… 2分
    當時，
，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．
… 3分
    （2） ①由（Ⅰ）得，當時，,函數(shù)無極值點．………………  5分                

    ②當時，有兩個不同解，                       

    時，，,
    此時 ，隨在定義域上的變化情況如下表：
    減
    極小值
    增
    由此表可知：時，有惟一極小值點，   …… 7分
    ii）   當時，0<<1    此時，，隨的變化情況如下表：
     
    增
    極大值
    減
    極小值
    增
    由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點；…9分
    綜上所述：當時，有惟一最小值點；
    當時，有一個極大值點和一個極小值點
    …….10分
    （3）由（2）可知當時，函數(shù)，此時有惟一極小值點
    且     
…… 9分
                      
…… 11分
    令函數(shù)      
…… 12分
    …14分
     
    		
    
	
	

    
	







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