題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
。
（1）證明：
（2）若數(shù)列
的通項(xiàng)公式為
，求數(shù)列 的前
項(xiàng)和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設(shè)數(shù)列
滿足：
，設(shè)
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點(diǎn)
在
軸上，點(diǎn)
在
軸的正半軸，點(diǎn)
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動時，求動點(diǎn)的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點(diǎn)，又過、作軌跡的切線
、
，當(dāng)
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)
時，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區(qū)間
上恰好有兩個相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數(shù)，
（1）討論
時, 
的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實(shí)數(shù)
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，對任意的正整數(shù)，都有
成立，記
。
（I）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（II）記
，設(shè)數(shù)列
的前項(xiàng)和為
，求證：對任意正整數(shù)都有
；
（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為
。已知正實(shí)數(shù)
滿足：對任意正整數(shù)
恒成立，求的最小值。
一．選擇題：DCDDA DDBBC
解析：1：復(fù)數(shù)i的一個輻角為900，利用立方根的幾何意義知，另兩個立方根的輻角分別是900+1200與900+2400，即2100與3300，故虛部都小于0，答案為（D）。
2：把x=3代入不等式組驗(yàn)算得x=3是不等式組的解，則排除(A)、(B), 再把x=2代入不等式組驗(yàn)算得x=2是不等式組的解，則排除(D)，所以選(C).
3：在題設(shè)條件中的等式是關(guān)于
與
的對稱式，因此選項(xiàng)在A、B為等價命題都被淘汰，若選項(xiàng)C正確，則有
，即
，從而C被淘汰，故選D。
4：“對任意的x1、x2，當(dāng)
時，
”實(shí)質(zhì)上就是“函數(shù)單調(diào)遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“
有意義”。事實(shí)上由于
在
時遞減，從而
由此得a的取值范圍為
。故選D。
5：由韋達(dá)定理知
.從而
，故
故選A。
6：當(dāng)點(diǎn)A為切點(diǎn)時，所求的切線方程為
，當(dāng)A點(diǎn)不是切點(diǎn)時，所求的切線方程為
故選D。
7：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2， ∴VF－ABCD＝
?32?2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.
8：由二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)有C
＋C
＋…＋C
＋C
＝2
，選B.
9：取特殊數(shù)列
=3，則
=
=10，選(B).
10：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個關(guān)系式，故可用特殊方程來考察。取雙曲線方程為
－
=1，易得離心率e=
,cos
=
，故選C。
二．填空題：11、
； 12、
；13、
；14、
，
；15、
，
；
解析：11：因?yàn)?sub>
（定值），于是
，
，
，又
， 故原式=。
12：因?yàn)檎叫蔚拿娣e是16，內(nèi)切圓的面積是
，所以豆子落入圓內(nèi)的概率是
．
13：設(shè)k = 0，因拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為
把直線方程
代入拋物線方程得
，∴
，從而
。
14.（略）
15.（略）
三．解答題：
16．解：（1）∵對任意
，
，∴
--2分
∵
不恒等于
，∴
--------------------------4分
（2）設(shè)
①
時，由
解得：
由 解得其反函數(shù)為 ，
-----------------7分
②
時，由 解得：
解得函數(shù)的反函數(shù)為，
--------------------9分
∵
∴
------------------------------------------------------------------12分
１7．解：（Ⅰ）依題意，有
，
．
因此，
的解析式為
； …………………6分
（Ⅱ）由
（
）得
（），解之得
（）
由此可得
且
，
所以實(shí)數(shù)
的取值范圍是
． …………………12分
18.（I）因?yàn)閭?cè)面
是圓柱的的軸截面，
是圓柱底面圓周上不與
、
重合一個點(diǎn)，所以
…………………2分
又圓柱母線
^平面
，
Ì平面，所以^，
又
，所以^平面
，
因?yàn)?sub>Ì平面
，所以平面
平面；…………………………………6分
（II）設(shè)圓柱的底面半徑為
，母線長度為
，
當(dāng)點(diǎn)是弧
的中點(diǎn)時，三角形的面積為
，
三棱柱
的體積為
，三棱錐
的體積為
，
四棱錐
的體積為
，………………………………………10分
圓柱的體積為
，
………………………………………………12分
四棱錐與圓柱的體積比為
.……………………………………………14分
19.(Ⅰ)解：∵
∴
∴數(shù)列
是首項(xiàng)為（
），公比為2的等比數(shù)列，………………4分
，
，∴數(shù)列
是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
，∴
…
…………………7分
（Ⅱ）令
代入
得：
解得:
由此可猜想
，即
…………………10分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n＝1時，等式左邊＝1，右邊＝
,
當(dāng)n＝1時，等式成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時，等式成立，即
當(dāng)n＝k＋1時
∴當(dāng)n＝k＋1時，等式成立，
綜上所述，存在等差數(shù)列，使得對任意的
有成立。
…………………14分
20.解：(Ⅰ)∵
軸，∴
,由橢圓的定義得：
， ……………2分
∵
，∴
，
又
得
∴
………………4分
∴
，∴所求橢圓C的方程為
． …………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知點(diǎn)A(－2,0)，點(diǎn)B為（0，－1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
則
，
, 由
－4得－
，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為
…………………8分
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對稱點(diǎn)為
，則由軸對稱的性質(zhì)可得：
，
解得：
，…………………10分
∵點(diǎn)在橢圓上，
∴ 
，
整理得
解得
或 
…………………12分
∴點(diǎn)P的軌跡方程為
或
，經(jīng)檢驗(yàn)和都符合題設(shè)，
∴滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為或．…………………14分
21.解（1） 
…………………1分
，
當(dāng)
時
，函數(shù)
有一個零點(diǎn)；
當(dāng)
時，
，函數(shù)有兩個零點(diǎn)。…………………3分
（2）令
，則
，…………………5分
在
內(nèi)必有一個實(shí)根。即
，使
成立�！�8分
（3）
假設(shè)
存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，且
∴
………………10分
由②知對
,都有
令
得
由
得
， …………………12分
當(dāng)時，
，其頂點(diǎn)為（－1，0）滿足條件①，又
對,都有，滿足條件②。
∴存在
，使同時滿足條件①、②。 …………………14分
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