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已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點(diǎn)。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

【解析】第一問(wèn)中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為

第二問(wèn)中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

∵，∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，  

要使被軸平分，只要得到。

（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，   

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當(dāng)時(shí)，（＊）對(duì)任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

（本小題12分）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)，點(diǎn)B在x軸正半軸（包括原點(diǎn)）上移動(dòng)，點(diǎn)M在AB連線上，且滿足，．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設(shè)軌跡C的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，自M引的垂線，垂足為N，設(shè)點(diǎn)使四邊形PFMN是菱形，試求實(shí)數(shù)a；

（Ⅲ）如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，其中＞，相應(yīng)線段AM的垂直平分線交x軸于．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：當(dāng)n≥2時(shí)，為定值．

（本題14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)為2，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)．過(guò)右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的面積；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？

若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)， 點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值