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(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最值. 得分評卷人【查看更多】

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，若對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用的定義域是

由x>0及得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是

第二問中，若對任意不等式恒成立，問題等價于只需研究最值即可。

解：（I）的定義域是．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是．．．．．．．．4分

（II）若對任意不等式恒成立，

問題等價于，．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函數(shù)極小值點，這個極小值是唯一的極值點，

故也是最小值點，所以；．．．．．．．．．．．．6分

當b<1時，；

當時，；

當b>2時，；．．．．．．．．．．．．8分

問題等價于．．．．．．．．11分

解得b<1 或或即，所以實數(shù)b的取值范圍是

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已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導數(shù)在在處取到極值點可知導數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式，即，即.

轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

設(shè)，則.

設(shè)，則，因為，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當時，有，當時，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

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（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)定義在上，，導函數(shù)
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間的最小值；（Ⅱ）討論與的大小關(guān)系；（Ⅲ）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在請說明理由。

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已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若方程有唯一解，求實數(shù)的值．

【解析】第一問，

當0<x<2時，，當x>2時，，

要使在(a,a+1)上遞增，必須

如使在(a,a+1)上遞增，必須，即

由上得出，當時，在上均為增函數(shù)

（Ⅱ）中方程有唯一解有唯一解

設(shè) （x>0）

隨x變化如下表

x
	-		+
		極小值

由于在上，只有一個極小值，的最小值為-24-16ln2，

當m=-24-16ln2時，方程有唯一解得到結(jié)論。

（Ⅰ）解：

當0<x<2時，，當x>2時，，

要使在(a,a+1)上遞增，必須

如使在(a,a+1)上遞增，必須，即

由上得出，當時，在上均為增函數(shù) ……………6分

（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解

設(shè) （x>0）

隨x變化如下表

x
	-		+
		極小值

由于在上，只有一個極小值，的最小值為-24-16ln2，

當m=-24-16ln2時，方程有唯一解

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（本題滿分14分）

已知函數(shù)。

（1）求的最大值及取得最大值時的的值；

（2）求在上的單調(diào)增區(qū)間。

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一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

B

D

C

D

C

D

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分

9． 10. 60 11. 12. 13. 2 14. -2；1

三、解答題：本大題共6個小題，共80分。

15. （本小題共13分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最值。

解：（Ⅰ）由題意

所求定義域為 {} …………4分

（Ⅱ）

…………9分

由知，

所以當時，取得最大值為； …………11分

當時，取得最小值為0 。 …………13分

16. （本小題共13分）

已知數(shù)列中，，點（1，0）在函數(shù)的圖像上。

（Ⅰ）求數(shù)列的通項；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前n項和。

解：(Ⅰ)由已知又 …………3分

所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列所以 …………6分

（Ⅱ）由 …………9分

所以 …………13分

17. （本小題共14分）

如圖，在正三棱柱中，,是的中點，點在上，。

（Ⅰ）求所成角的大��；

（Ⅱ）求二面角的正切值；

(Ⅲ) 證明.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，

又是正△ABC邊的中點，

…………3分

∠為所成角

又 sin∠= …………5分

所以所成角為（）

（Ⅱ）由已知得

∠為二面角的平面角，所以 …………9分

(Ⅲ)證明: 依題意得，，

因為 …………11分

又由（Ⅰ）中知，且，

…………14分

18. （本小題共13分）

某校高二年級開設(shè)《幾何證明選講》及《數(shù)學史》兩個模塊的選修科目。每名學生至多選修一個模塊，的學生選修過《幾何證明選講》，的學生選修過《數(shù)學史》，假設(shè)各人的選擇相互之間沒有影響。

(Ⅰ)任選1名學生，求該生沒有選修過任何一個模塊的概率；

(Ⅱ)任選4名學生，求至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率。

解：(Ⅰ)設(shè)該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，

參加過《數(shù)學史》的選修為事件B，該生沒有選修過任何一個模塊的概率為P，

則

所以該生沒有選修過任何一個模塊的概率為 …………6分

(Ⅱ)至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為

所以至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為 …………13分

19. （本小題共13分）

已知函數(shù)的圖像如圖所示。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若函數(shù)在處的切線方程為，求函數(shù)的

解析式；

（Ⅲ）若=5，方程有三個不同的根，求實數(shù)的取值范圍。

解：函數(shù)的導函數(shù)為

(Ⅰ)由圖可知函數(shù)的圖像過點（0，3），且

得 …………3分

(Ⅱ)依題意且

解得

所以 …………8分

（Ⅲ）依題意

由 ①

若方程有三個不同的根，當且僅當滿足 ②

由 ① ② 得

所以當時，方程有三個不同的根。 …………13分

20. （本小題共14分）

已知分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點M。

(Ⅰ)求動點M的軌跡的方程；

(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設(shè)＝，若∈[2，3]，求的取值范圍。

解：(Ⅰ)設(shè)M，則，由中垂線的性質(zhì)知

||= 化簡得的方程為 …………3分

（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以為焦點，以為準線的拋物線

所以，則動點M的軌跡的方程為）

(Ⅱ)設(shè)，由＝知 ①

又由在曲線上知 ②

由 ① ② 解得所以有 …………8分

=== …………10分

設(shè) ，∈[2，3]，有在區(qū)間上是增函數(shù)，

得進而有

所以的取值范圍是 …………14分

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