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如圖，已知點和單位圓上半部分上的動點B．

（1）若，求向量；

（2）求的最大值．

【解析】對于這樣的向量的坐標和模最值的求解，利用建立直角坐標系的方法可知。

第一問中，依題意，，，

因為，所以，即，

解得，所以

第二問中，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到最值。

（1）依題意，，（不含1個或2個端點也對）

， （寫出1個即可）

因為，所以，即，

解得，所以.-

（2），

 當時，取得最大值，

 

已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當時單調(diào)遞減；當時單調(diào)遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　�、�

令則

當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.故當，即

從而，又

所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學方法.第一問利用導函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.

 

已知冪函數(shù)滿足。

（1）求實數(shù)k的值，并寫出相應的函數(shù)的解析式；

（2）對于（1）中的函數(shù)，試判斷是否存在正數(shù)m，使函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解和函數(shù)的最值的運用。第一問中利用，冪函數(shù)滿足，得到

因為，所以k=0，或k=1，故解析式為

（2）由（1）知，，，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸，和開口求解最大值為5.，得到

（1）對于冪函數(shù)滿足，

因此，解得，………………3分

因為，所以k=0，或k=1，當k=0時，，

當k=1時，，綜上所述，k的值為0或1，�！�……………6分

（2）函數(shù)，………………7分

由此要求，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，

當時，，因為在區(qū)間上的最大值為5，

所以，或…………………………………………10分

解得滿足題意

 

已知函數(shù)，其中.

  （1）若在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；

  （2）討論函數(shù)在的單調(diào)性；

  （3）若函數(shù)在上的最小值為2，求的取值范圍.

【解析】第一問，因在處取得極值

所以，，解得，此時，可得求曲線在點

處的切線方程為：

第二問中，易得的分母大于零，

①當時， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當時，由可得，由解得

第三問，當時由（2）可知，在上處取得最小值，

當時由（2）可知在處取得最小值，不符合題意.

綜上，函數(shù)在上的最小值為2時，求的取值范圍是

 

已知中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;

(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關系的運用。

第一問中，可設橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

第二問中，

假設存在這樣的直線,設,MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

 (Ⅱ) 假設存在這樣的直線,設,MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得……②  ……………………9分

則．

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得．

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是