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（本小題滿(mǎn)分12分） 古代印度婆羅門(mén)教寺廟內(nèi)的僧侶們?cè)��?jīng)玩過(guò)一種被稱(chēng)為“河內(nèi)寶塔問(wèn)題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有n（）個(gè)圓盤(pán)依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現(xiàn)要將套在A柱上的盤(pán)換到C柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何時(shí)候不允許將大盤(pán)套在小盤(pán)上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現(xiàn)用a_n表示將n個(gè)圓盤(pán)全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問(wèn)題：
(1) 寫(xiě)出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
(2) 記，求和（）；（其中表示所有的積的和）
(3)證明：

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(本小題滿(mǎn)分12分)
古代印度婆羅門(mén)教寺廟內(nèi)的僧侶們?cè)��?jīng)玩過(guò)一種被稱(chēng)為“河內(nèi)寶塔問(wèn)題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有n（）個(gè)圓盤(pán)依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現(xiàn)要將套在A柱上的盤(pán)換到C柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何時(shí)候不允許將大盤(pán)套在小盤(pán)上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現(xiàn)用a_n表示將n個(gè)圓盤(pán)全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問(wèn)題：
(1)   寫(xiě)出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
(2)   記，求和（）；
（其中表示所有的積的和）
(3)   證明：．

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第 Ⅰ 卷（共50分）

一、選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

C

C

A

B

D

D

C

A

二、填空題：

11. 20    12.  4    13.  22       14.  24     15.

三、解答題：

16.解：（1）由得

                ………………………………………2分

                                …………………………6分

（2）

                               …………………………10分

        ……………12分

17.解：（1）取SA的中點(diǎn)H，連結(jié)EH,BH

E是SD的中點(diǎn)

四邊形EFBH為平行四邊形

  又

                                      ………………………4分

（2）  

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，如圖所示建立直角坐標(biāo)系，

則

設(shè)是平面的法向量，則

       取

則到平面的距離為                …………………………8分

（3）設(shè)，則 

設(shè)是平面的法向量，則

  取  

由  得

，  故存在G點(diǎn)滿(mǎn)足要求，.             …………………………12分

18.解：

由已知，得

       …………………………3分

（1）

由，得或

由，得

的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是……………………6分

（2）不等式即 

由，得

又

在內(nèi)最大值為6，最小值為－14

的取值范圍為                            …………………………12分

19.解：（1） …………………………2分

  隨的增大而增大

當(dāng)時(shí)，                              …………………………6分

（2）連續(xù)操作四次“獲勝”的概率記作，則

當(dāng)且僅當(dāng)   即時(shí)取“＝”

由 ，得     

當(dāng)時(shí)，“獲勝”的概率最大.                  …………………………12分

20.解：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為 的方程為：

（1）N點(diǎn)坐標(biāo)

所求的方程為：                          …………………………6分

（2）由  得 

， ， 

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為 ， 顯然 

                                        …………………………13分

21.解：（1）欲使為等差數(shù)列，只需

即 

令  得

存在實(shí)數(shù)，使是等差數(shù)列.               …………………………3分

（2）

是等差數(shù)列，

                                 …………………………5分

故                               …………………………8分

（3）當(dāng)時(shí)，

又，

左式.   …………………………14分