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由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式．
對(duì)于cos3x，我們有
cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cocs．
可見(jiàn)cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式．
一般地，存在一個(gè)n次多項(xiàng)式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），這些多項(xiàng)式P_n（t）稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多項(xiàng)式．
（1）請(qǐng)嘗試求出P₄（t），即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來(lái)表示cos4x．
（2）化簡(jiǎn)cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ，并利用此結(jié)果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值．

（2011•鹽城二模）已知函數(shù)f（x）=

x+a

x2+b

是定義在R上的奇函數(shù)，其值域?yàn)閇-

1

4

，

1

4

]．
（1）試求a、b的值；
（2）函數(shù)y=g（x）（x∈R）滿足：①當(dāng)x∈[0，3）時(shí)，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．
①求函數(shù)g（x）在x∈[3，9）上的解析式；
②若函數(shù)g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是閉區(qū)間，試探求m的取值范圍，并說(shuō)明理由．

已知定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax²+bx（a＞0）是偶函數(shù)，函數(shù)f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（II）當(dāng)a≤1時(shí)，若x₀∈[1，2]，求f（x₀）的最大值；
（III）若二次函數(shù)R（x）圖象過(guò)（1，1）點(diǎn)，對(duì)于給定的函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)A（x₁，y₁），當(dāng)x₁=

1

e

時(shí)，探求函數(shù)f（x）圖象上是否存在點(diǎn)B（x₂，y₂）（x₂＞1），使A、B連線平行于x軸，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

已知定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax²+bx+c滿足2^R（-x）-2^R（x）=0，且R（x）的最小值為0，函數(shù)h（x）=lnx，又函數(shù)f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（II）當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，若x₀∈[1，3]，求f（x₀）的最小值；
（III）若二次函數(shù)R（x）圖象過(guò)（4，2）點(diǎn)，對(duì)于給定的函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)A（x₁，y₁），當(dāng)x1=

3

2

時(shí)，探求函數(shù)f（x）圖象上是否存在點(diǎn)B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：

x2

4

+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若

OP

=m

OA

+n

OB

，求證：動(dòng)點(diǎn)Q（m，n）在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說(shuō)明理由．