題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
，
.
（Ⅰ）若函數(shù)
依次在
處取到極值.求
的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)
，使對(duì)任意的
，不等式
恒成立.求正整數(shù)
的最大值.
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根來分析求解。
第二問中，利用存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式
恒成立轉(zhuǎn)化為
，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。
解：（1）
①
（2）不等式 ，即
，即
.
轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)
，使對(duì)任意的
，不等式恒成立.
即不等式
在上恒成立.
即不等式
在上恒成立.
設(shè)
，則.
設(shè)
，則
，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">，有
.
故
在區(qū)間上是減函數(shù)。又
故存在
，使得
.
當(dāng)
時(shí)，有
，當(dāng)
時(shí)，有
.
從而
在區(qū)間
上遞增，在區(qū)間
上遞減.
又
[來源:]
所以當(dāng)
時(shí)，恒有
；當(dāng)
時(shí)，恒有
；
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
已知數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ) 設(shè)
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用
關(guān)系式，表示通項(xiàng)公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結(jié)論。
解：(Ⅰ)當(dāng)
時(shí)，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對(duì)偶式）設(shè)
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">，所以
.即
………10分
證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)
時(shí), 
,命題成立;
②假設(shè)
時(shí),命題成立,即
,
則當(dāng)
時(shí),
即
即
故當(dāng)時(shí)，命題成立.
綜上可知，對(duì)一切非零自然數(shù)，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
已知點(diǎn)
為圓
上的動(dòng)點(diǎn)，且不在
軸上，
軸，垂足為
，線段
中點(diǎn)
的軌跡為曲線
，過定點(diǎn)
任作一條與
軸不垂直的直線
，它與曲線交于
、
兩點(diǎn)。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點(diǎn)
，使得
總能被軸平分
【解析】第一問中設(shè)
為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)
在圓
上，
∴
，曲線的方程為
第二問中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
，直線的方程為
， ………………3分
代入曲線的方程
，可得 
∵
，∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．
然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別
, 
，則
，
要使被軸平分，只要
得到。
（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，
∴，曲線的方程為． ………………2分
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為， ………………3分
代入曲線的方程，可得 ，……5分
∵，∴
，
∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）
………………6分
設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，
要使被軸平分，只要，
………………9分
即
，
， ………………10分
也就是
，
，
即
，即只要
………………12分
當(dāng)
時(shí)，（＊）對(duì)任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點(diǎn)
，使得
總能被
軸平分
閱讀下面的文言文，完成下面5題。
李斯論 （清）姚鼐
蘇子瞻謂李斯以荀卿之學(xué)亂天下，是不然。秦之亂天下之法，無待于李斯，斯亦未嘗以其學(xué)事秦。
|
君子之仕也，進(jìn)不隱賢；小人之仕也，無論所學(xué)識(shí)非也，即有學(xué)識(shí)甚當(dāng)，見其君國行事，悖謬無義，疾首嚬蹙于私家之居，而矜夸導(dǎo)譽(yù)于朝庭之上，知其不義而勸為之者，謂天下將諒我之無可奈何于吾君，而不吾罪也；知其將喪國家而為之者，謂當(dāng)吾身容可以免也。且夫小人雖明知世之將亂，而終不以易目前之富貴，而以富貴之謀，貽天下之亂，固有終身安享榮樂，禍遺后人，而彼宴然①無與者矣。嗟乎！秦未亡而斯先被五刑夷三族也，其天之誅惡人，亦有時(shí)而信也邪！
且夫人有為善而受教于人者矣，未聞為惡而必受教于人者也。荀卿述先王而頌言儒效，雖間有得失，而大體得治世之要。而蘇氏以李斯之害天下罪及于卿，不亦遠(yuǎn)乎？行其學(xué)而害秦者，商鞅也；舍其學(xué)而害秦者，李斯也。商君禁游宦，而李斯諫逐客②，其始之不同術(shù)也，而卒出于同者，豈其本志哉！宋之世，王介甫以平生所學(xué)，建熙寧新法，其后章惇、曾布、張商英、蔡京之倫，曷嘗學(xué)介甫之學(xué)耶？而以介甫之政促亡宋，與李斯事頗相類。夫世言法術(shù)之學(xué)足亡人國，固也。吾謂人臣善探其君之隱，一以委曲變化從世好者，其為人尤可畏哉！尤可畏哉！
[注釋]①宴然：安閑的樣子。②諫逐客：秦始皇曾發(fā)布逐客令，驅(qū)逐六國來到秦國做官的人，李斯寫了著名的《諫逐客書》，提出了反對(duì)意見。
對(duì)下列句子中加點(diǎn)的詞語的解釋，不正確的一項(xiàng)是（ ）
A．非是不足以中侈君張吾之寵 中：符合
B．滅三代法而尚督責(zé) 尚：崇尚
C．知其不義而勸為之者 勸：鼓勵(lì)
D．而終不以易目前之富貴 易：交換
下列各組句子中，加點(diǎn)的詞的意義和用法相同的一組是（ ）
A．因秦國地形便利 不如因普遇之
B．設(shè)所遭值非始皇、二世 非其身之所種則不食
C．且夫小人雖明知世之將亂 臣死且不避，卮酒安足辭
D．不亦遠(yuǎn)乎 王之好樂甚，則齊國其庶幾乎
下列各項(xiàng)中，加點(diǎn)詞語與現(xiàn)代漢語意義不相同的一項(xiàng)是（ ）
A．小人之仕也，無論所學(xué)識(shí)非也
B．而大體得治世之要
C．而以富貴之謀，貽天下之亂
D．一以委曲變化從世好者
下列各句中對(duì)文章的闡述，不正確的一項(xiàng)是（ ）
A．蘇軾認(rèn)為李斯以荀卿之學(xué)輔佐秦朝行暴政，致使天下大亂，作者則認(rèn)為李斯是完全舍棄了荀子的說學(xué)，李斯的做法只不過是追隨時(shí)勢(shì)罷了。
B．作者由論李斯事秦進(jìn)而泛論人臣事君的問題，強(qiáng)調(diào)為臣者對(duì)于國君的“悖謬無義”之政，不應(yīng)為自身的富貴而阿附甚至助長(zhǎng)之。
C．此文主旨在于指出秦行暴政是君王自身的原因，作者所論的不可“趨時(shí)”，“中侈君張吾之寵”的道理，在今天仍有借鑒意義。
D．文章開門見山，擺出蘇軾的觀點(diǎn)，然后通過對(duì)秦國發(fā)展歷史的分析，駁斥了蘇說的謬論，提出了自己的見解。論證嚴(yán)密，逐層深入，是一篇典范的史論。
把文言文閱讀材料中畫橫線的句子翻譯成現(xiàn)代漢語。
（1）秦之甘于刻薄而便于嚴(yán)法久矣
譯文：
（2）謂天下將諒我之無可奈何于吾君，而不吾罪也
譯文：
（3）其始之不同術(shù)也，而卒出于同者，豈其本志哉
譯文：
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