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與是互素的合數．(這里與分別表示有限數集的所有元素之和及元素個數．) 證我們用表示有限數集X中元素的算術平均．第一步.我們證明.正整數的n元集合具有下述性質:對的任意兩個不同的非空子集A.B.有．證明:對任意..設正整數k滿足 . ① 并設l是使的最小正整數．我們首先證明必有．事實上.設是A中最大的數.則由.易知A中至多有個元素.即.故．又由的定義知.故由①知．特別地有．此外.顯然.故由l的定義可知．于是我們有．若.則,否則有.則．由于是A中最大元.故上式表明．結合即知．現在.若有的兩個不同的非空子集A.B.使得.則由上述證明知.故.但這等式兩邊分別是A.B的元素和.利用易知必須A=B.矛盾．第二步.設K是一個固定的正整數..我們證明.對任何正整數x.正整數的n元集合具有下述性質:對的任意兩個不同的非空子集A.B.數與是兩個互素的整數．事實上.由的定義易知.有的兩個子集.滿足..且． ② 顯然及都是整數.故由上式知與都是正整數．現在設正整數d是與的一個公約數.則是d的倍數.故由②可知.但由K的選取及的構作可知.是小于K的非零整數.故它是的約數.從而．再結合及②可知d=1.故與互素．第三步.我們證明.可選擇正整數x.使得中的數都是合數．由于素數有無窮多個.故可選擇n個互不相同且均大于K的素數．將中元素記為.則.且(對).故由中國剩余定理可知.同余方程組 . 有正整數解．任取這樣一個解x.則相應的集合中每一項顯然都是合數．結合第二步的結果.這一n元集合滿足問題的全部要求．【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

給定整數，證明：存在n個互不相同的正整數組成的集合S，使得對S的任意兩個不同的非空子集A，B，數