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設(shè)aR.函數(shù)f(x)=3x3―4x+a+1.的單調(diào)區(qū)間, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）≤6x+2恒成立；正數(shù)數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫出一個(gè)區(qū)間（a，b），使得當(dāng)an∈（a，b）時(shí)，數(shù)列{an}在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說明理由；
（3）若已知，求證：數(shù)列{lg(
1
2
-an)+lg2}是等比數(shù)列．

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫出一個(gè)區(qū)間（a，b），使得當(dāng)a1∈（a，b）時(shí)，數(shù)列{an}在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說明理由；
（3）已知，是否存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N*，都有log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由．

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+x+c(c＞
1
8
)的圖象與x軸的左右兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x2-x1的取值范圍為（　�。�
A、（0，1）
B、(0，
2
2
)
C、(
1
2
，
2
2
)
D、(
2
2
，1)

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設(shè)α，β是函數(shù)f(x)=
m
3
x3+
n
2
x2-m2x  (m＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且|α|+|β|=2．
（1）求證：0＜m≤1；α＜x＜2
（2）求n的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=f′（x）-2m（x-α），當(dāng)且α＜0時(shí)，求證：|g（x）|≤4m．

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（2014•長寧區(qū)一模）設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）證明：當(dāng)an∈(0，
1
2
)時(shí)，數(shù)列{an}在該區(qū)間上是遞增數(shù)列；
（3）已知a1=
1
3
，是否存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N*，都有log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由．

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一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.B         2.C         3.A         4.A       5.B       6.C      7.D     8.C

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.0.3                 10.－1               11.4

12.24；81             13.1；45°          14.2 |x|

注：兩空的題目，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.

15.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)解：

∵函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

∴          2分  即                   4分

解得a=1，b=－.                                                         6分

(Ⅱ)解：

由(Ⅰ)得f(x)=sinx－cosx=2sin（）.                                   8分

∵0≤x≤π，              ∴－                               9分

當(dāng)x－，即x=時(shí)，sin取得最大值1.                        11分

∴f(x)在[0，π]上的最大值為2，此時(shí)x=.                                   12分

16.(本小題滿分13分)

(Ⅰ)解：

記“甲投球命中”為事件A，“乙投球命中”為事件B，則A，B相互獨(dú)立，

且P(A)=，P(B)=.

那么兩人均沒有命中的概率P=P()=P()P()=.         －5分

(Ⅱ)解：

記“乙恰好比甲多命中1次”為事件C，“乙恰好投球命中1次且甲恰好投球命中0次”為事件C1，“乙恰好投球命中2次且甲恰好投球命中1次”為事件C2，則C=C1+C2，C1，C2為互斥事件.

，                                             8分

?                                           11分

P(C)=P(C1)+P(C2)=.                                                        13分

17.(本小題滿分13分)

解法一：

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    連結(jié)BD.
    ∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，
    ∴B1B⊥平面ABCD，
    ∴BD是B1D在平面ABCD上的射影，
    ∵AC⊥BD，
    根據(jù)三垂線定理得，AC⊥B1D.              5分
    (Ⅱ)解：
    設(shè)AC∩BD=F，連結(jié)EF.
    ∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
    根據(jù)三垂線定理得AC⊥FE，    又AC⊥FB，
    ∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                      
－9分
    在Rt△EDF中，由DE=DF=，得∠EFD=45°.                             
  12分
    ∴∠EFB=180°－45°=135°，
    即二面角E－AC－B的大小是135°.                                   
        13分
    解法二：
    ∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，
    


    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    如圖，以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x軸，
    y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.             1分
    D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
    B1(1,1，).                               3分
    (Ⅰ)證明：
    ∵=（－1，1，0）， 
，
    ∴=0，
    ∴AC⊥B1D.                                      
                     6分
    (Ⅱ)解：
    連結(jié)BD，設(shè)AC∩BD=F，連結(jié)EF.
    ∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
    ∴AC⊥FE，AC⊥FB，
    ∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                        
9分
    ∵底面ABCD是正方形     ∴F,
    ∴，                                      12分
    ∴二面角E-AC-B的大小是135°                                      
       13分
    18.(本小題滿分14分)
    (Ⅰ)解：
    ∵a1=3，an=－an－1－2n+1(n≥2，且n∈N*)，
    ∴a2=－a1－4+1=－6，                  
2分   a3=－a2－6+1=1.              
4分
    (Ⅱ)證明：
    ∵
    ∴數(shù)列{an+n}是首項(xiàng)為a1+1=4，公比為－1的等比數(shù)列.                          7分
    ∴an+n=4?(－1)n－1, 即an=4?(－1)n－1－n，
    ∴{an}的通項(xiàng)公式為an=4?(－1)n－1－n(n∈N*).                                  
9分
    (Ⅲ)解：
    ∵{an}的通項(xiàng)公式an=4?(－1)n－1－n(n∈N*)，
    所以當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，Sn=?12分
    當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，Sn=?(n2+n).
    綜上，Sn=         
                           14分
    19.(本小題滿分14分)
    (Ⅰ)解：
    依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+，
    將其代入x2=2y，消去y整理得x2－2kx－1=0.                       
          2分
    設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 
則x1x2=－1.        
              3分
    將拋物線的方程改寫為y=x2，求導(dǎo)得y′=x.
    所以過點(diǎn)A的切線l1的斜率是k1=x1，過點(diǎn)B的切線l2的斜率是k2=x2，
    因?yàn)閗1k2=x1x2=－1，所以l1⊥l2.                 
                            6分
    (Ⅱ)解：
    直線l1的方程為y－y1=k1(x－x1)，即y－=x1(x－x1)，
    同理，直線l2的方程為y－=x2(x－x2)，
    聯(lián)立這兩個(gè)方程，消去y得=x2(x－x2)－x1(x－x1)，
    整理得(x1－x2)=0，注意到x1≠x2，所以x=.                  
10分
    此時(shí))y=.                   
12分
    由(Ⅰ)知，x1+x2=2k,    所以x==k∈R，
    所以點(diǎn)M的軌跡方程是y=.                                             
14分
    20.(本小題滿分14分)
    (Ⅰ)解：
    f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=9x2－4.
    令f′(x)＞0，解得x＞，或x＜－；  令f′(x)＜0，解得－＜x＜.
    從而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,；單調(diào)遞減區(qū)間為.    
3分
    (Ⅱ)解:
    由f(x)≤0， 
得－a≥3x3－4x+1.                                 
              4分
    由(Ⅰ)得，函數(shù)y=3x3－4x+1在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
    從而當(dāng)x=－時(shí)，函數(shù)y=3x3－4x+1取得最大值.          
                 6分
    因?yàn)閷?duì)于任意x∈[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，
    故－a≥，即a≤－，
    從而a的最大值是－.                                                    8分
    (Ⅲ)解：
    當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f′(x)變化情況如下表：
    x
    f′(x)
    +
    0
    －
    0
    +
    f(x)
    ㄊ
    極大值a+
    ㄋ
    極小值a
    ㄊ
    ①由f(x)的單調(diào)性，當(dāng)極大值a+＜0或極小值a＞0時(shí)，方程f(x)=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
    ②當(dāng)a=－時(shí)，解方程f(x)=0，得x=－，x=,即方程f(x)=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；
    ③當(dāng)a=時(shí)，解方程f(x)=0，得x=,x=－，即方程f(x)=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.
    如果方程f(x)=0存在三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則解得
    a∈.               
                                           12分
    事實(shí)上，當(dāng)a∈時(shí)，
    ∵f(－2)=－15+a＜－15+＜0，且f(2)，17+a＞17－＞0，
    所以方程f(x)=0在內(nèi)各有一根.
    綜上，若方程f(x)=0存在三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是.        
14分
     
    		
    
	
	

    
	







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