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若曲線y=f(x)上存在三點(diǎn)A.B.C,使,則稱點(diǎn)曲線有“中位點(diǎn) .下列曲線:①y=cosx, ②,③,④y=cosx+x2,⑤,有“中位點(diǎn) 的有 (寫出所有滿足要求的序號(hào)) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

若曲線y=f（x）上存在三點(diǎn)A，B，C，使得
AB
=
BC
，則稱曲線有“中位點(diǎn)”，下列曲線
（1）y=cosx，（2）y=
1
x
，（3）y=x3+x2-2，（4）y=x3有“中位點(diǎn)”的是（　�。�
A、（2）（4）
B、（1）（3）（4）
C、（1）（2）（4）
D、（2）（3）（4）

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已知橢圓C：的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1以拋物線的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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說明：

    一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。

    二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。

    三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

    四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。

1―5 BADBB    6―10 ACCDA

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。

11．     12．甲      13．7      14．         15．①③⑤

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

  16．解：……………………………………………………2分

       ………………………………………………………………4分

………………………………………………………………6分

………………………………………………9分

       …………………………11分

       ………………………………………………13分

則SA⊥BC。又∠ABC=90°，即AB⊥BC，

于是BC⊥面SAB……………………………………5分

為直角三角形�！�6分

   （2）解法一：延長BA，CD交于E，則SE為所求二面角，

    由AD//BC且BC=2AD，

    得AE+AS=ABSE⊥SB，

    又由SA⊥面ABCD面SAB⊥面ABCD。

結(jié)合∠ABC=90°，得

因此，的平面角。


 

  
  
    
   
    
    
    
    
    
    解法二：取SB、BC的中點(diǎn)分別為G、H，
    連結(jié)AG、GB、AH、由CH//SC，AB//DC，
    得面AGB//面SDC。
    ∴所求的二面角即為面AGH與面AGB所成的角
    由于AG⊥SB，BR⊥面SAB。
    ∴∠BGH為所求二面角的平面角。
    在直角三角GBD中，，
    即面SDC與面SAB所成二面角的正切值為                                …………13分
    18．解：（1）某員工獲得一等獎(jiǎng)的概率為………………4分
    （2）∵某員工獲三等獎(jiǎng)的概率為…………………7分
        獲二等獎(jiǎng)的概率為…………………9分
    ∴某員工所獲獎(jiǎng)品價(jià)值Y（無）的概率分布為：
    Y
    200
    100
    50
    P
    ……………………10分
    （3）EY=200×+100×+50×=
    ∴該單位需準(zhǔn)備獎(jiǎng)品的價(jià)值約為元………………13分
    19．解：…………2分
    （1）
    ∴曲線處的切線方程為
    即………………4分
    （2）令
    當(dāng)
    令
    上為減函數(shù)，在上增函數(shù)。…………6分
    當(dāng)在R上恒成立。
    上為減函數(shù)�！�7分
    當(dāng)
    令
    在上為增函數(shù)�！�8分
    綜上，當(dāng)時(shí)，
    單調(diào)遞減區(qū)間為。
    當(dāng)
    當(dāng)
    單調(diào)遞減區(qū)間為（），（）……………………9分
    （3）a>0時(shí)，列表得：
    1
    （1，+）
    +
    0
    －
    0
    +
    ㄊ
    極大值
    ㄋ
    極小值
    ㄊ
    又
    從而，當(dāng)…………11分
    由題意，不等式恒成立，
    所以得
    從而a的取值范圍為……………………13分
    20．解：（Ⅰ）圓，
    半徑
    QM是P的中垂線，連結(jié)AQ，則|AQ|=|QP|
    又，
    根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q軌跡是以C（－，0），A（，0）為焦點(diǎn)，長軸長為2  的橢圓，……………………2分
    由因此點(diǎn)Q的軌跡方程為………………4分
    （Ⅱ）（1）證明：當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，由題意知：
    不妨取代入曲線E的方程得：
     
    即G（，），H（，－）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，………………5分
    當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為：
    由題意知：
    由
    ∴直線l與橢圓E交于兩點(diǎn)
    綜上，直線l必與橢圓E交于兩點(diǎn)…………………………8分
    （2）由（1）知當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，
    ………………9分
    當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)
    設(shè)（1）知
    …………………………10分
    當(dāng)且僅當(dāng)，則取得“=”
    ……………………12分
    當(dāng)k=0時(shí)，…………………………13分
    綜上，△OGH的面積的最小值為……………………14分
    21．（1）解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為
        …………………………2分
    令，得矩陣A的特征值為……………………………3分
    對(duì)于特征值解相應(yīng)的線性方程組得一個(gè)非零解，
    因此，是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量�！�5分
    對(duì)于特征值解相應(yīng)的線性方程組得一個(gè)非零解，
    因此，是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量�！�7分
    2．解：（1）兩圓的極坐標(biāo)方程可化為
    ∴兩圓的直角坐標(biāo)方程是………………4分
    （2）根據(jù)（1）可知道兩圓心的直角坐標(biāo)是O1（1，0）和O2（0，a）
    ……………………7分
    3．解：（1）∵
    ∴當(dāng)x<1時(shí)，3－2x>3，解得x<0；
    當(dāng)1無解
    當(dāng)x>2時(shí)2x－3>3，解得x<3.
    綜上，x<0或x>3，
    ∴不等式f（x）>3的解集為……………………4分
    （2）∵     
∴
    ∵恒成立
    ∴a<1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是………………………………7分