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已知點(diǎn)P₁（x₀，y₀）為雙曲線

x2

3b2

-

y2

b2

=1(b＞0，b為常數(shù))上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₂為雙曲線的右焦點(diǎn)，過P₁作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接F₂A并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)P₂
（1）求線段P₁P₂的中點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）是否存在過點(diǎn)F₂的直線l，使直線l與（1）中軌跡在y軸右側(cè)交于R₁、R₂兩不同點(diǎn)，且滿足

OR1

•

OR2

=4b2，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)（1）中軌跡E與x軸交于B、D兩點(diǎn)，在E上任取一點(diǎn)Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直線QB、QD分別交y軸于M、N點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)．

已知點(diǎn)P₁（x₀，y₀）為雙曲線

x2

3b2

-

y2

b2

=1(b＞0，b為常數(shù))上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₂為雙曲線的右焦點(diǎn)，過P₁作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接F₂A并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)P₂
（1）求線段P₁P₂的中點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）是否存在過點(diǎn)F₂的直線l，使直線l與（1）中軌跡在y軸右側(cè)交于R₁、R₂兩不同點(diǎn)，且滿足

OR1

•

OR2

=4b2，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)（1）中軌跡E與x軸交于B、D兩點(diǎn)，在E上任取一點(diǎn)Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直線QB、QD分別交y軸于M、N點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)．

（2011•莆田模擬）如圖（1），在直角梯形ACC₁A₁中，∠CAA₁=90°，AA₁∥CC₁，AA₁=4，AC=3，CC₁=1，點(diǎn)B在線段AC上，AB=2BC，BB₁∥AA₁，且BB₁交A₁C₁于點(diǎn)B₁．現(xiàn)將梯形ACC₁A₁沿直線BB₁折成二面角A-BB₁-C，設(shè)其大小為θ．
（1）在上述折疊過程中，若90°≤θ≤180°，請(qǐng)你動(dòng)手實(shí)驗(yàn)并直接寫出直線A₁B₁與平面BCC₁B₁所成角的取值范圍．（不必證明）；
（2）當(dāng)θ=90°時(shí)，連接AC、A₁C₁、AC₁，得到如圖（2）所示的幾何體ABC-A₁B₁C₁，
（i）若M為線段AC₁的中點(diǎn)，求證：BM∥平面A₁B₁C₁；
（ii）記平面A₁B₁C₁與平面BCC₁B₁所成的二面角為α（0＜α≤90°），求cosa的值．