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極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)D為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，曲線(xiàn)C_l的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程為為參數(shù)）。

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)C_l與C₂公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)； 

（2）若，當(dāng)變化時(shí)，設(shè)曲線(xiàn)C₁與C₂的公共點(diǎn)為A，B，試求AB中點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程，并指出它表示什么曲線(xiàn)．

已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率是.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線(xiàn)上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說(shuō)明理由.

【解析】第一問(wèn)當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

第二問(wèn)當(dāng)時(shí)，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問(wèn)假設(shè)曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時(shí)，，令得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

又，，。∴在上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0；

當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無(wú)解，因此。此時(shí)，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

（本題滿(mǎn)分12分）

已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若，求證：曲線(xiàn)是一個(gè)圓；

（2）若，當(dāng)且時(shí)，求曲線(xiàn)的離心率的取值范圍．

（12分）某食品廠(chǎng)進(jìn)行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費(fèi)

為元（為常數(shù)，且，設(shè)該食品廠(chǎng)每公斤蘑菇的出廠(chǎng)價(jià)為元（），根據(jù)

市場(chǎng)調(diào)查，銷(xiāo)售量與成反比，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠(chǎng)價(jià)為30元時(shí)，日銷(xiāo)售量為100公斤.

（1）求該工廠(chǎng)的每日利潤(rùn)元與每公斤蘑菇的出廠(chǎng)價(jià)元的函數(shù)關(guān)系式；

　（2）若，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠(chǎng)價(jià)為多少元時(shí)，該工廠(chǎng)的利潤(rùn)最大，并求最大值

（12分）某食品廠(chǎng)進(jìn)行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費(fèi)
為元（為常數(shù)，且，設(shè)該食品廠(chǎng)每公斤蘑菇的出廠(chǎng)價(jià)為元（），根據(jù)
市場(chǎng)調(diào)查，銷(xiāo)售量與成反比，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠(chǎng)價(jià)為30元時(shí)，日銷(xiāo)售量為100公斤.
（1）求該工廠(chǎng)的每日利潤(rùn)元與每公斤蘑菇的出廠(chǎng)價(jià)元的函數(shù)關(guān)系式；
�。�2）若，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠(chǎng)價(jià)為多少元時(shí)，該工廠(chǎng)的利潤(rùn)最大，并求最大值