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已知函數f(x)=

a2-x2

x-2a

（a＞0）
（1）證明：f（x）既不是奇函數又不是偶函數．
（2）求f（x）的值域．
（3）若對于f（x）定義域內的任意實數x₁，都能構造出一個無窮數列{x_n}，
使其滿足條件x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求a的取值范圍．

（2006•石景山區(qū)一模）已知函數y=f（x）對于任意θ≠

kπ

2

（k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a為常數）．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數y=f（x）構造一個數列，方法如下：
對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構造過程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，那么構造數列的過程就停止．
（�。┤绻�可以用上述方法構造出一個常數列，求a的取值范圍；
（ⅱ）是否存在一個實數a，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（ⅲ）當a=1時，若x₁=-1，求數列{x_n}的通項公式．

（2011•浦東新區(qū)三模）某同學將命題“在等差數列{a_n}中，若p+m=2n，則有a_p+a_m=2a_n（p，m，n∈N^*）”改寫成：“在等差數列{a_n}中，若1×p+1×m=2×n，則有1×a_p+1×a_m=2×a_n（p，m，n∈N^*）”，進而猜想：“在等差數列{a_n}中，若2p+3m=5n，則有2a_p+3a_m=5a_n（p，m，n∈N^*）．”
（1）請你判斷以上同學的猜想是否正確，并說明理由；
（2）請你提出一個更一般的命題，使得上面這位同學猜想的命題是你所提出命題的特例，并給予證明．
（3）請類比（2）中所提出的命題，對于等比數列{b_n}，請你寫出相應的命題，并給予證明．

已知數列{a_n}，S_n為其前n項的和，S_n=n-a_n+9，n∈N^*
（1）證明數列{a_n}不是等比數列；
（2）令b_n=a_n-1，求數列{b_n}的通項公式b_n；
（3）已知用數列{b_n}可以構造新數列．例如：{3b_n}，{2b_n+1}，{

b

2 n

}，{

1

bn

}{2bn}，{sinb_n}…，請寫出用數列{b_n}構造出的新數列{p_n}的通項公式，滿足數列{p_n}是等差數列．

（2013•汕尾二模）設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數，使這n+2個數組成公差為d_n的等差數列（如：在a₁與a₂之間插入1個數構成第一個等差數列，其公差為d₁；在a₂與a₃之間插入2個數構成第二個等差數列，其公差為d₂，…以此類推），設第n個等差數列的和是A_n．是否存在一個關于n的多項式g（n），使得A_n=g（n）d_n對任意n∈N^*恒成立？若存在，求出這個多項式；若不存在，請說明理由；
（3）對于（2）中的數列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個數列中是否存在不同的三項d_m，d_k，d_p（其中正整數m，k，p成等差數列）成等比數列，若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．