在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過(guò)A₁，C₁，B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為

40

3

．
（1）求棱A₁A的長(zhǎng)；
（2）若在線(xiàn)段BC₁上存在點(diǎn)P，使直線(xiàn)A₁P⊥C₁D，求二面角D-A₁P-B的大小．

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為線(xiàn)段CD中點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)B₁E與直線(xiàn)AD₁所成的角的余弦值；
（2）若AB=2，求二面角A-B1E-

A

_

1的大小；
（3）在棱AA₁上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為CD中點(diǎn)．
（1）求證：B₁E⊥AD₁；
（2）在棱AA₁上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）若AB=2，求二面角B-AE-B₁的平面角的余弦值．