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數(shù)列首項，前項和滿足等式（常數(shù)，……）

（1）求證：為等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列使 （……），求數(shù)列的通項公式.

（3）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

【解析】第一問利用由得

兩式相減得

故時，

從而又  即，而

從而  故

第二問中，     又故為等比數(shù)列，通項公式為

第三問中，

兩邊同乘以

利用錯位相減法得到和。

（1）由得

兩式相減得

故時，

從而   ………………3分

又  即，而

從而  故

對任意，為常數(shù)，即為等比數(shù)列………………5分

（2）    ……………………7分

又故為等比數(shù)列，通項公式為………………9分

（3）

兩邊同乘以

………………11分

兩式相減得

已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分

【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點，則點在圓上，

∴，曲線的方程為

第二問中，設(shè)點的坐標為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

∵，∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點．

然后設(shè)點,的坐標分別, ，則，  

要使被軸平分，只要得到。

（1）設(shè)為曲線上的任意一點，則點在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設(shè)點的坐標為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設(shè)點,的坐標分別, ，則，   

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點，使得總能被軸平分