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數(shù)列的前n項(xiàng)和。

   （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

   （2）如果對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

【解析】本試題主要是考查了等比數(shù)列的定義的運(yùn)用，以及運(yùn)用遞推關(guān)系求解數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，并且能借助于數(shù)列的和，放縮求證不等式的綜合試題。

 

已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，是等比數(shù)列，且，.

（Ⅰ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數(shù)學(xué)歸納法）

①  當(dāng)n=1時(shí)，，，故等式成立.

②  假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有：

   

   

即，因此n=k+1時(shí)等式也成立

由①和②，可知對(duì)任意，成立.

 

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q,且b₂+ S₂=12，.（Ⅰ）求a_n 與b_n；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n.

【解析】本試題主要是考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和的運(yùn)用。第一問(wèn)中，利用等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q,且b₂+ S₂=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項(xiàng)公式故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.     第二問(wèn)中，，由第一問(wèn)中知道，然后利用裂項(xiàng)求和得到T_n.

解： (Ⅰ) 設(shè)：{a_n}的公差為d,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120143914538050_ST.files/image003.png">解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.                       ………6分

(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120143914538050_ST.files/image004.png">……………8分

 

已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）若數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且證明：

【解析】第一問(wèn)中，利用，

∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，即 

第二問(wèn)中， 

進(jìn)一步得到得    即

即是等差數(shù)列.

然后結(jié)合公式求解。

解：（I）  解法二、，

∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，即 

（II）     ………②

由②可得： …………③

③－②，得    即 …………④

又由④可得 …………⑤

⑤－④得

即是等差數(shù)列.

     

 

已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且滿足.

（1）   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）   若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第項(xiàng)、……，余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列，試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3） 在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在正整數(shù)，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】第一問(wèn)中解：由得，，

又因?yàn)榇嬖诔��?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列，

則即，所以p=1

故數(shù)列為首項(xiàng)是2，公比為2的等比數(shù)列，即.

此時(shí)也滿足，則所求常數(shù)的值為1且

第二問(wèn)中，解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得：

（i）當(dāng)時(shí)，；

（ii） 當(dāng)時(shí)，，

所以

第三問(wèn)假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則，

則（i）當(dāng)時(shí)，

，