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已知二次函數f（t）=at²-

b

t+

1

4a

（t∈R）有最大值，且最大值為正實數，集合A={x|

x-a

x

＜0}，集合B={x|x²＜b²}
（1）求集合A和B；
（2）定義：“A-B={x∈A，且x∉B}”設a，b，x均為整數，且x∈A．記P（E）為x取自集合A-B的概率，P（F）x取集合A∩B的概率．已知P（E）=

2

3

，P（F）=

1

3

．記滿足上述條件的所有a的值從小到大排列構成的數列為{a_n}，所有b的值從小到大排列構成數列{b_n}．
①求a₁，a₂，a₃和b₁，b₂，b₃；
②請寫出數列{a_n}和{b_n}的通項公式（不必證明）；
③如果在函數中f（t）中，a=a_n，b=b_n，記f（t）的最大值為g（n），c_n=

1-12g(n)

4g(n)

，S_n=c₁c₂+c₂c₃+…+c_nc_n+1，求證：S_n＜1．

已知{a_n}是遞增數列，其前n項和為S_n，a₁＞1，且10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）是否存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立？若存在，寫出一組符合條件的m，n，k的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設b_n=a_n-

n-3

2

，c_n=

2(n+3)an

5n-1

，若對于任意的n∈N^*，不等式

5 m

31(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

1

cn+1+n-1

≤0恒成立，求正整數m的最大值．

將數列{a_n}中的所有項按每組比前一組項數多一項的規(guī)則分組如下：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀），…每一組的第1個數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1，S_n為數列{b_n}的前n項和，且滿足S_n+1（S_n+2）=S_n（2-S_n+1），n∈N^*，
（I）求證：數列{

1

Sn

}成等差數列，并求出數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若從第2組起，每一組中的數自左向右均構成等比數列，且公比q為同一個正數，當a₁₈=-

2

15

時，求公比q的值；   
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記每組中最后一數a₁，a₃，a₆，a₁₀，…構成的數列為{c_n}，設d_n=n²（n-1）•c_n，求數列{d_n}的前n項和T_n．