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已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn).短軸長(zhǎng)為2.一條準(zhǔn)線方程為l:． ⑴ 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,⑵ 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).F是橢圓的右焦點(diǎn).點(diǎn)M是直線l上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線段ON的長(zhǎng)為定值． 【查看更多】

 

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一、填空題

1. 二      2. 6      3.     4. 22     5. {2,3,4}    6. 5049    7. 

8. 2    9.     10. 5       11.       12.        13. 4     14.

二．解答題

15. 解：設(shè)四發(fā)子彈編號(hào)為0（空彈），1，2，3，

             （1）設(shè)第一槍出現(xiàn)“啞彈”的事件為A，有4個(gè)基本事件,則：（2分）

                 （4分）

(2)      法一:前三槍出現(xiàn)“啞彈”的事件為B,則第四槍出現(xiàn)“啞彈”的事件為,

         那么，（6分）

     （9分）

法二:前三槍共有4個(gè)基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},滿足條件的有三個(gè),（7分）

     則（9分）

        (3) 的面積為6，（10分）

           分別以為圓心、1為半徑的三個(gè)扇形的面積和,（12分）

                    設(shè)第四個(gè)彈孔與前三個(gè)彈孔的距離都超過1的事件為C,

                        .（14分）

16.       （1）ABCD為直角梯形，AD =，AB⊥BD，（1分）

           PB⊥BD ，AB PB =B，AB，PB平面PAB，BD⊥平面PAB，（ 4分）

           PA面PAB，PA ⊥BD.（5分）                                

（2）假設(shè)PA=PD,取AD 中點(diǎn)N,連PN,BN,則PN⊥AD，BN⊥AD, （7分）

        AD⊥平面PNB,得 PB⊥AD，（8分）

        又PB⊥BD ，得PB⊥平面ABCD,

∴（9分）

        又∵，∴CD⊥平面PBC,

        ∴CD⊥PC, 與已知條件與

不垂直矛盾

        ∴（10分）

  （3）在上l取一點(diǎn)E，使PE=BC，（11分）

     PE∥BC，四邊形BCPE是平行四邊形，（12分）

          PC∥BE，PC平面EBD， BE平面EBD

                PC∥平面EBD.（14分）

17. 解：⑴∵橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，橢圓C的一條準(zhǔn)線為l：，

       ∴不妨設(shè)橢圓C的方程為．（2分）

        ∴，（ 4分）      即．（5分）

        ∴橢圓C的方程為．（6分）

    ⑵ F（1，0），右準(zhǔn)線為l：， 設(shè)，

     則直線FN的斜率為，直線ON的斜率為，（8分）

     ∵FN⊥OM，∴直線OM的斜率為，（9分）

    ∴直線OM的方程為：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（11分）

    ∴直線MN的斜率為．（12分）

    ∵M(jìn)N⊥ON，∴，

    ∴，

    ∴，即．（13分）

    ∴為定值．（14分）

18. 解：（1）設(shè)，則．（2分）

在Rt△MB中，， （4分）

∴． （5分）

    ∵點(diǎn)M在線段AB上，M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，

    ∴．（7分）

（2）在△AMN中，∠ANM＝,（8分）

,（9分）

＝．（10分）

令＝

＝．（13分）

∵，      ∴． （14分）

  當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，有最大值，（15分）

∴時(shí)，有最小值．（16分）

19.（1）如果為偶函數(shù)，則

       恒成立，（1分）

      即： （2分）

       由不恒成立，得（3分）

       如果為奇函數(shù)，則

         恒成立，（4分）

       即：（5分）

             由恒成立，得（6分）

（2），

  ∴ 當(dāng)時(shí),顯然在R上為增函數(shù)；（8分）

     當(dāng)時(shí)，，

            由得得

                得.（9分）

                 ∴當(dāng)時(shí), ,為減函數(shù); （10分）

              當(dāng)時(shí), ,為增函數(shù). （11分）

(3) 當(dāng)時(shí)，

      如果，（13分）

           則 

       ∴函數(shù)有對(duì)稱中心（14分）

      如果（15分）

         則

       ∴函數(shù)有對(duì)稱軸.（16分）

20. 解：（1）n＝1時(shí)，2a₁＝a₁a₂＋r，∵a₁＝c≠0，∴2c＝ca₂＋r，．  （1分）

n≥2時(shí)，2S_n＝a_na_n＋1＋r，①    2S_n－1＝a_n－1a_n＋r，②

①－②，得2a_n＝a_n(a_n＋1－a_n－1)．∵a_n≠0，∴a_n＋1－a_n－1＝2．        （ 3分）

       則a₁，a₃，a₅，…，a_2n－1，… 成公差為2的等差數(shù)列，a_2n－1＝a₁＋2(n－1)．

a₂，a₄，a₆，…，a_2n，… 成公差為2的等差數(shù)列， a_2n＝a₂＋2(n－1)．

要使{a_n}為等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)a₂－a₁＝1．即．r＝c－c²．  （ 4分）

       ∵r＝－6，∴c²－c－6＝0，c＝－2或3．

∵當(dāng)c＝－2，，不合題意，舍去.

∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列       （5分）

（2）＝[a₁＋2(n－1)]－[a₂＋2(n－1)]＝a₁－a₂＝－2．

＝[a₂＋2(n－1)]－（a₁＋2n）＝a₂－a₁－2＝－()． （8分）

∴        （9分）

．  （10分）

＝．（11分）

∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．

∴0＜＜1． （13分）

且＞－1．  （14分）

又∵r＞c＞4，∴，則0＜．．

∴＜1．．∴＜1．（15分）

∴對(duì)于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分）

 

數(shù)學(xué)加試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

21．A．選修4―1　幾何證明選講

　　 證明:作于為直徑,

（2分）

四點(diǎn)共圓,四點(diǎn)共圓. （6分）

     （8分）

   (1)+(2)得（9分）

   即（10分）

21．B．選修4―2　矩陣與變換

解：（1）由=，（2分）   ∴.     （3分）

（2）由（1）知，則矩陣的特征多項(xiàng)式為

 （5分）

令，得矩陣