題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)證明:
(2)若數(shù)列的通項公式為
,求數(shù)列
的前
項和
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設(shè)數(shù)列滿足:
,設(shè)
,
若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)
,
恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點
在
軸上,點
在
軸的正半軸,點
在直線
上,且滿足
,
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當點在
軸上移動時,求動點
的軌跡
方程;
(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當時,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(本小題滿分14分)
已知,其中
是自然常數(shù),
(1)討論時,
的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實數(shù),使
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前
項和為
,對任意的正整數(shù)
,都有
成立,記
。
(I)求數(shù)列的通項公式;
(II)記,設(shè)數(shù)列
的前
項和為
,求證:對任意正整數(shù)
都有
;
(III)設(shè)數(shù)列的前
項和為
。已知正實數(shù)
滿足:對任意正整數(shù)
恒成立,求
的最小值。
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.B 2. C 3. D 4.C 5.B 6.D 7.A 8. B.
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9.; 10.(-1,2); 11.0; 12.
(或
);
13.(1)
或
;(2)16;(3)
.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
14.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵
當時,其圖象如右圖所示.---4分
(Ⅱ)函數(shù)的最小正周期是,其單調(diào)遞增區(qū)間是
;由圖象可以看出,當
時,該函數(shù)的最大值是
.--------------7分
(Ⅲ)若x是△ABC的一個內(nèi)角,則有,∴
由,得
∴ ∴
,
,故△ABC為直角三角形. --------------12分
15.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)
--------6分
(Ⅱ)當時,
----------12分
16.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條
側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的
正方形,高為CC1=6,故所求體積是
------------------------4分
(Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,
故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體,
其拼法如圖2所示. ------------------------6分
證明:∵面ABCD、面ABB
正方形,于是
故所拼圖形成立.---8分
(Ⅲ)方法一:設(shè)B1E,BC的延長線交于點G,
連結(jié)GA,在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG,垂足為H,
連結(jié)HB1,則B1H⊥AG,故∠B1HB為平面AB1E與
平面ABC所成二面角或其補角的平面角. --------10分
在Rt△ABG中,,則
,
,
,故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為
.---14分
方法二:以C為原點,CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系(如圖3),∵正方體棱長為6,則E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).
設(shè)向量n=(x,y,z),滿足n⊥,n⊥
,
于是,解得
.
--------------------12分
取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6),
故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.
----------------14分
17.(本小題滿分14分)
解:分別記該考生考上第1、2、3批分數(shù)線為事件A、B、C,被相應(yīng)志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci,(i=a、b), 則以上各事件相互獨立. -------------------------------------2分
(Ⅰ)“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分數(shù)線和僅上第2批分數(shù)線兩種情況,故所求概率為
. -----------------------------------------------------------------------------------6分
(Ⅱ)設(shè)該考生所報志愿均未錄取的概率為,則
.
∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分
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