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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)。

（1）證明：

（2）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列 的前項和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）設(shè)數(shù)列滿足：，設(shè)，

若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)，恒成立，

試求的最大值。

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（本小題滿分14分）已知，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅰ）當(dāng)點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當(dāng)，求直線的方程.

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（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)

 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

 （2）若當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 （3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數(shù)，

（1）討論時, 的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；

（III）設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。

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一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

C

D

C

C

A

D

B

D

C

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13、；   14、；   15、32；     16、2

三、解答題：（本大題共6小題，共74分，）

17、解：（I）

                

                 ……………………………………………………4分

    ………………………………………………………………6分

   （II）由余弦定理得

   

    ……………………………………………………………………9分

    而，

    函數(shù)

    當(dāng)………………………………………12分

18、解：由上表可求出10次記錄下的有記號的紅鯽魚與中國金魚數(shù)目的平均數(shù)均為20，故可認(rèn)為池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)目相同，設(shè)池塘中兩種魚的總數(shù)是，則有

，   即   ，        ------------4分

                    

所以，可估計水庫中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)量均為25000．    ------------6分

（Ⅱ）顯然，，                                 -----------9分

其分布列為

0

1

2

3

4

5

---------11分

數(shù)學(xué)期望．                                  -----------12分

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      2. ∵DE⊥EB，∴四邊形CDEF是矩形，

      ∵CD=1，∴EF=1。

      ∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3。

      ∴AE=BF=1。

      ∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1。

      連結(jié)CE，則CE=CB=

      ∵EB=2，∴∠BCE=90°。

      則BC⊥CE。                                                 …………3分

      在圖2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，

      ∴AE⊥平面BCDE。

      ∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC。                                 …………4分

      ∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC。                                …………5分

         （II）∵AE⊥平面BCDE，CF平面BCDE。

      ∴AE⊥CF。

      ∴CF⊥平面ABE。

      過C作CG⊥AB，連結(jié)FG，則∠CGF就是二面角C―AB―E的平面角�！�6分

      又CF=1，AE=1，CE=BC=。

      ∴AC=

      在Rt△ACB中，AB=

      又AC?BC=AB?CG，∴CG=     ∴FG=   

      ∴二面角C―AB―E的正切值為                             …………8分

         （III）用反證法。

      假設(shè)EM∥平面ACD。                                         

      ∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，

      ∴EB∥平面ACD�！逧B∩EM=E，∴面AEB∥面ACD                  …………10分

      而A∈平面AEB，A∈平面ACD，

      與平面AEB//平面ACD矛盾。

      ∵假設(shè)不成立。

          ∴EM與平面ACD不平行�！�12分

      20、（I）解：由得，

       ，，

      ∴，  

      ∵為等比數(shù)列   ∴∴=                             3分                                                 

      （II）證明：因為方程的兩根為3、7，

      由題意知， 即，∴

      ∴等差數(shù)列的公差，∴

      ∴                        6分

      要證，只要證明， 即

      下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立

      （i）當(dāng)，2，3時，不等式顯然成立，

      （ii）假設(shè)當(dāng)（）時，不等式成立，即

      當(dāng)+1時，

      即，此時不等式也成立．

      由（i）（ii）知，對任意，成立．

      所以，對任意，．                              9分

      （III）證明：由（II）已證成立，兩邊取以3為底的對數(shù)得，

      ∴

      ∴，  ∴ w.w.w.k.s.5 u.c.o.m             12分

      21、解：（I）設(shè)橢圓方程為，         1分

      則由題意有，，                       2分

      因此，，                        3分

      所以橢圓的方程為。                          4分

      （II）∵　斜率存在，不妨設(shè)，求出．   5分

      直線 方程為，直線 方程  …………6分

      　　分別與橢圓方程聯(lián)立，可解出，   7分

      ∴　．∴　為定值．       8分

      （Ⅲ）設(shè)直線AB方程為，與聯(lián)立，消去得

      ．                                  9分

      由 >0得-4＜ ＜4，且 ≠0，點 到 的距離為．………… 10分

                     11分

      　   設(shè)△的面積為S．　∴　．

      當(dāng)時，得．                       12分

      22、（I）解：當(dāng)

      此時， 的極小值為，無極大值                        …………4分

      （II）解：

                 …………8分

      （III）由（I）知：上為增函數(shù)，