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設(shè)雙曲線的左.右兩條準線與x軸分別交于點A.B.垂直于x軸的動直線與雙曲線右支交于相異的兩點M.n.直線AB與AM交于點P.求P點的軌跡方程. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分13分）已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線相交于坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切，又知雙曲線C的一個焦點與點A關(guān)于直線y=x對稱.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C的左、右焦點，從點F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程.

（3）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經(jīng)過點M（－2，0）和線段AB的中點，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍

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一、選擇題

1―12  CBDBA  ACCAD  BA

二、填空題

13．    14．   15．（理）   （文）16．②④

三、解答題

17．解（1）設(shè)向量的夾角

則

…………………………………………2分

當

向量的夾角為；…………………………4分

當

向量的夾角為；……………………6分

（2）|對任意的恒成立，

即,

對任意的恒成立。

即恒成立……………………8分

所以…………………………10分

解得：

故所求實數(shù)的取值范圍是………………12分

18．（理）解：（1）的取值為1，3。

又…………………………1分

…………………………3分

的分布列為

1

3

P

 

…………………………5分

………………………………6分

（2）當S8=2時，即前8分鐘出現(xiàn)“紅燈”5次和“綠燈”3次，有已知 若第一、三分鐘出現(xiàn)“紅燈”，則其余六分鐘可出現(xiàn)“紅燈”3次………………8分

若第一、二分鐘出現(xiàn)“紅燈”，第三分鐘出現(xiàn)“綠燈”，則其后五分鐘可出現(xiàn)“紅燈”3次…………………………10分

故此時的概率為……………………12分

（文）解：（1）若第一個路口為紅燈，則第二個路口為綠燈的概率為

；…………………………2分

若第一個路口為綠燈，則第二個路口為綠燈的概率為…………4分

∴經(jīng)過第二個路口時，遇到綠燈的概率是…………6分

（2）若第一個路口為紅燈，其它兩個路口為綠燈的概率為

；…………………………8分

若第二個路口為紅燈，其它兩個路口為綠燈的概率為：

………………………………10分

若第三個路口為紅燈，其它兩個路口為綠燈的概率為：

…………………………11分

∴經(jīng)過三個路口，出現(xiàn)一次紅燈，兩次綠燈的概率是………………12分

19．（理）解：（1）求滿足條件①的a的取值范圍，

函數(shù)的定義域為取任意實數(shù)時，

即…………………………2分

解得：a<1…………………………3分

求滿足條件②的a的取值范圍

設(shè)……………………4分

由可得，

說明：當

又當

∴對任意的實數(shù)x，恒有…………………………6分

要使得x取任意實數(shù)時，不等式恒成立，

須且只須…………………………7分

由①②可得，同時滿足條件（i）、（ii）的實數(shù)a的取值范圍為：

…………………………8分

（2）

……………………10分

即

∴不等式的解集是：

…………………………12分

（文）解：（1）…………4分

（2）解法一  ………………6分

因為，所以……………………00分

解得：………………12分

解法二：當x=0時，恒成立；………………5分

當x>0時，原式或化為，………………9分

因為時取等號）………………11分

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    4. 
   
      
    
    
      
    
      20．解法一：（1）連結(jié)AC，交BD于0，
      則O為AC的中點，連結(jié)EO。
      ∵PA//平面BDE，平面PAC平面BDE=OE，
      ∴PA//OE…………………………2分
      ∴點E是PC的中點�！�3分
      （2）∵PD⊥底面ABCD，且DC底面ABCD，
      ∴PD⊥DC，△PDC是等腰直角三角形，……………………4分
      而DE是斜邊PC的中線，
      ∴DE⊥PC，  ①
      又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥BC�！�6分
      ∵底面ABCD是正方形，CD⊥BC，
      ∴BC⊥平面PDC，
      而DE平面PDC，
      ∴BC⊥DE   ② ……………………7分
      由①和②推得DE⊥平面PBC，而PB平面PBC
      ∴DE⊥PB，又DF⊥PB且DEDF=D，
      所以PB⊥平面EFD，…………………………8分
      （3）由（2）知，PB⊥EF，已知PB⊥DF，故∠EFD是二面角C―PB―D的平面角，
      ………………9分
      由（2）知，DF⊥EF，PD⊥DB。
      設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則PD=DC=a，BD=
      ……………………10分
      在Rt△EFD中，
      所以，二面角C―PB―D的大小為……………………12分
       
      解法二：（1）同解法一……………………3分
      （2）如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，
      設(shè)DC=a，依題意得
      P（0，0，a），B（a,a,0），C（0，a，0   ），
      E（0， ），A（a，0，0），D（0，0，0），
      ………………4分
      …………………………6分
      由已知DF⊥PB，且DFDE=D，
      所以PB⊥平面EFD�！�8分
      （3）由（2）得
      設(shè)平面PBC的法向量為n=（x，y，z），
      m為平面PBD的法向量，由
      及得
      平面PBD
      又因為二面角C―PB―D為銳角，所以其大小為……………………12分
      21．解：設(shè)
      因為兩準線與x軸的交點分別為
       ……………………1分
      由題意知
      ………………………………3分
      則點N的坐標為N（），
      即N………………………………4分
      所以………………5分
      則………………………………6分
             當x≠0時，代入，=得：=……………………8分
             所以，
             即                                                               …………………10分
             當x=0時，點P的坐標為P（0，），
             點M的坐標滿足條件：=
             點M的坐標滿足條件：=
             顯然推出與已知雙曲線中≠0矛盾。
             所以P點的軌跡方程為.（x≠0，y≠0）      ……………………12分
      22．解：
         （1）由………2分
             所以，
      即所求數(shù)列{an}的通項公式為………………4分
         （2）若n為奇數(shù)，則…………5分
             =……………………7分
             =4-3                                                                             …………………9分
             若n為偶數(shù)，則………………10分
             =            …………………12分
             =4-4                                                                               …………………14分