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8．已知函數(shù)的導函數(shù)是,且則曲線在處的切線方程是 A．y=3x+5 B．y=3x+6 C．y=2x+5 D．y=2x+4 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設切點為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)是，且f(－1)＝2，，則曲線y＝f(x)在點x＝－1處的切線方程是

[　　]

A．y＝3x＋5

B．y＝3x＋6

C．y＝2x＋5

D．y＝2x＋4

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已知下列四個命題：
①若函數(shù)y=f（x）在x°處的導數(shù)f'（x°）=0，則它在x=x°處有極值；
②不論m為何值，直線y=mx+1均與曲線
x2
4
+
y2
b2
=1有公共點，則b≥1；
③設直線l1、l2的傾斜角分別為α、β，且1+tanβ-tanα+tanαtanβ=0，則l1和l2的夾角為45°；
④若命題“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題，則|a+1|＞2；
以上四個命題正確的是
 
（填入相應序號）．

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已知f（x）是可導的函數(shù)，且
lim
x→0
f(x+2)-f(2)
2x
=-2，則曲線y=f（x）在點（2，2）處的切線的一般式方程是
4x+y-10=0
4x+y-10=0
．

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已知f（x）是可導的偶函數(shù)，且
lim
x→0
f(2+x)-f(2)
2x
=-1，則曲線y=f（x）在（-2，1）處的切線方程是______．

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一、選擇題：

1．C  2．D  3．C  4．A   5．B  6．C  7．B   8．A   9．D  10．A  11．A  12．C

二、填空題：

13．         14． 26   15． －3    16．     17． 3         18．   

19．   20．(0，1) 21．     22．    23．765        24．5  

25．2          26．

三、解答題：

27、解：（1）∵cos3x=4cos3x-3cosx，則=4cos2x-3=2cos2x-1

∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x

=2sin(2x+)-1                            

在2x+=2kπ+時，f(x)取得最大值2-1

即在x=kπ+ (k∈Z)時，f(x)取得最大值2-1 

（2）∵f(x)=2sin(2x+)-1

要使f(x)遞減，x滿足2kπ+≤2x+≤2kπ+

即kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z)

又∵cosx≠0，即x≠kπ+ (k∈Z)                

    <bdo id="7p995"><strong id="7p995"></strong></bdo>
      <pre id="7p995"></pre>
      • <rt id="7p995"><var id="7p995"></var></rt>
      
   
      
    
    
      
    
       
      ）
      28、解：（1）p(ξ個正面向上，4-ξ個背面向上的概率，其中ξ可能取值為0，1，2，3，4。
      ∴p(ξ=0)= (1-)2(1-a)2=(1-a)2
      p(ξ=1)= (1-)(1-a)2+(1-)2?a(1-a)=
(1-a)

      p(ξ=2)= ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+
(1-)2?
a2=(1+2a-2 a2)
      p(ξ=3)= ()2a(1-a)+
(1-)
a2=
      p(ξ=4)= ()2
 a2=a2             

      (2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=1) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)
      則p(ξ=2)- p(ξ=1)= (1+2a-2 a2)-
=－≥0
      由
      ，即a∈[]                

      （3）由（1）知ξ的數(shù)學期望為
      Eξ=0×（1-a）2+1×
(1-a)+2×
(1+2a-2a2)+3×+4×=2a+1
      29、解：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根據(jù)面面平行的判定定理
      ∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG 
      （2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC
      ∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD
      過C作CR⊥EF交EF延長線于R點連GR，根據(jù)三垂線定理知
      ∠GRC即為二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，   
      故二面角G-EF-D的大小為45°。
      （3）Q點為PB的中點，取PC中點M，則QM∥BC，∴QM⊥PC
      在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ         

      30、解：（1）由已知可得，=（x+3,y）,=(x-3,y),=(,0),
      ∵2（）2=?，∴2（x2-9）=x2-9+y2,
      即P點的軌跡方程（1-2）x2+y2=9（1-2）
      當1-2＞0，且≠0，即∈（-1，0）時，有+=1，
      ∵1-2＞0，∴＞0，∴x2≤9。
      ∴P點的軌跡是點A1，（-3，0）與點A2（3，0） 

      當=0時，方程為x2+y2=9，P的軌跡是點A1（-3，0）與點A2（3，0）
      當1-2＜0，即入∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，方程為-=1，P點的軌跡是雙曲線。
      當1-2=0，即=±1時，方程為y=0，P點的軌跡是射線。
      （2）過點A1且斜率為1的直線方程為y=x+3,
      當=時，曲線方程為+=1，
      由（1）知，其軌跡為點A1（-3，0）與A2（3，0）
      因直線過A1（-3，0），但不過A2（3，0）。
      所以，點B不存在。
      所以，在直線x=-9上找不到點C滿足條件。         

      31、解：（理）（1）f′(x)=－+a=
      (i)若a=0時，f′(x)= ＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0
      ∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減。    
      （ii）若時，f′(x)≤0對x∈R恒成立。
      ∴f(x)在R上單調(diào)遞減。                          

      (iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0ax2+2x+a＞0＜x＜
      由f′(x)＜0可得x＞或x＜
      ∴f(x)在[，]單調(diào)遞增
      在（-∞，]，[上單調(diào)遞減。
      綜上所述：若a≤－1時，f(x)在（－∞，+∞）上單調(diào)遞減。
      （2）由（1）當a=－1時，f(x)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減。
      當x∈（0，+∞）時f(x)＜f(0)
      ∴l(xiāng)n（1+x2）－x＜0 即ln（1+x2）＜x
      ∴l(xiāng)n[（1+）（1+）……(1+)]
      =ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+
      ＜=1-+-+…+=1-＜1
      ∴（1+）（1+）……(1+)＜e   
      32、解：（1）由題可知：與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，
      ，  （2）因為點在函數(shù)的圖像上，所以，  
      在上式中令可得：，又因為：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化為：
①
      （3）直線的方程為：，，
      在其中令，得，又因為在ｙ軸上的截距為，所以，
      =，結(jié)合①式可得：           
②
      由①可知：當自然數(shù)時，，，
      兩式作差得：．
      結(jié)合②式得：
        ③
      在③中，令，結(jié)合，可解得：，
      又因為：當時，，所以，舍去，得．
      同上，在③中，依次令，可解得：，．
      猜想：．下用數(shù)學歸納法證明．       
      （1）時，由已知條件及上述求解過程知顯然成立．
      （2）假設時命題成立，即，則由③式可得：
      把代入上式并解方程得：

      由于，所以，，所以，
      符合題意，應舍去，故只有．
      所以，時命題也成立．
      綜上可知：數(shù)列的通項公式為    
       
       
      		
      
	
	

      
	






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